Copyright 2017 - Custom text here

 Борцов Александр Анатольевич, Борцов А.А.

"Оптоэлектронный генератор с накачкой квантоворазмерным лазером"

 Диссертация на звание доктора технических наук. 

 Оптоэлектронный генератор является сложным физическим устройством, который в последнее время привлекает большое количество исследователей физиков. Его использование на практике вызывает пока проблемы с относительной большой стоимостью в сравнении с генераторе на кварцевом резонаторе, который  исследуется уже более нескольких десятков лет.

Главной привлекательностью оптоэлектронного генератора является сверхмалые габариты высокодобротного резонатора и относительная простота  настройки  

Оптоэлектронный генератор относится к  наукоемким приборам. Лазер, оптоэлектронный модулятор и электронные усилители, входящие в его конструкцию,  требуют  знаний и теоретической подготовки по квантовой электронике и по разделам теории колебаний.

В разделе радиофизики изучаются основы работы генератора с запаздывающей обратной связью. Оптоэлектронный генератор относится к этому классу устройств. Сложность теоретического описания генераторов с запаздыванием или длинной линией задержки, объясняется тем, что при составлении дифференциальных уравнений генератора появляется экспоненциальный член, аргумент которого зависит от запаздывания. Решить такие уравнения с достаточной степенью точности можно только с применением численных методов и математического моделирования на компьютерах.

Тем не менее необходимо определить для оптоэлектронного генератора основные его параметры при работе: в стационарном режиме : амплитуду и частоту колебаний, в динамическом режиме : время установления амплитуды и частоты колебаний.

Особенностью данного разделы работы является изучение не только генератора с одиночной линией  задержки, но и со сложной или дифференциальной линией задержки.  Дифференциальная линия задержки, которая применяется в большинстве случаев, состоит из двух линий задержек с разным временем запаздывания. На входе и выходе линии соединяются посредством ответвителей.

Чтобы понять влияние  лазера, активного элемента, на работу оптоэлектронного генератора, необходимо начать исследование с основ работы устройства.  

В первой части данной главе  основное внимание уделено основным принципам работы сложного устройства , и поэтому  математическое  описание его основных элементов в данном месте работы упрощается. При этом с целью облегчения понимания работы  в этой главе  сделано ряд допущений.  Лазер заменяется пассивным элементом - трехполюсником и описывается относительно простой  передаточной функцией. Фотодетектор также представляется пассивным трехполюсником и описывается  относительно простой  передаточной функцией. Волоконно-оптическая линия задержки представляется длинной линией с потерями и описывается передаточной функцией экспоненциального вида с аргументом, который зависит от времени задержки. Вводится общий коэффициент передачи ВОЛЗ. ВОЛЗ включает последовательно соединенные лазерный диод, волоконно-оптическую систему и фотодиод. ВОЛЗ представляется четырехполюсником, входные и выходные токи и напряжения описываются матрицей проводимости. 

Традиционные для генератора элементы такие, как нелинейный усилитель и фильтр - описываются известными передаточными функциями.

Целью настоящей главы является показать, как сложное автоколебательное устройство, включающее компоненты оптоэлектроники, может быть исследован радиофизическими методами анализа, используя теорию укороченных уравнений. Дается математический инструментарий, позволяющий быстро оценить для оптоэлектронного генератора, амплитуду и частоту в стационарном режиме, исследовать зависимости частоты и и амплитуды от изменения времени задержки, потерь в линии задержки, время установления  частоты и амплитуды колебаний.

Во второй части данной главы использованы методы радиофизического подхода теории колебаний для описания лазера, как традиционного генератора. В этом случае сделано допущение о малости времени запаздывания в ВОЛЗ.

В этом теоретическом разделе получена система из двух дифференциальных уравнений, которая содержит два уравнения, одно из которых  для лазера и дифференциальное уравнение для радиотехнической части , замкнутой в кольцо электронной цепи.     

неиндексируемый текст

     

 

        

     

Глава 2. Теоретический анализ лазерного оптоэлектронного автогенератора на основе дифференциальных уравнений

В главе 2 производится анализ основных свойств автономного лазерного оптоэлектронного генератора  с дифференциальной ВОЛЗ на основе дифференциальных уравнений. Исследуются зависимости частоты и амплитуды стационарных автоколебаний от параметров электронной и оптической частей ОАГ. В начале данной главы 2, в отличии от глав 5 и 6 , при выводе укороченных дифференциальных и уравнений баланса фаз амплитуд считается, что электронный усилитель НУ является единственным нелинейным радиоэлектронным устройством схемы ОАГ, а все остальные устройства (лазер, оптический модулятор, фотодетектор) и элементы, входящие в кольцо положительной обратной связи ОАГ являются линейными элементами. На основе полуклассических уравнений лазера КЛД произведен анализ схемы с прямой модуляцией. В этом анализе лазер выступает, как самостоятельная колебательная система. 

 

  1. 1. Функциональные схемы оптоэлектронного генератора с прямой и внешней модуляцией оптического излучения

Рассмотрим две базовые функциональные блок-схемы ОАГ с дифференциальной ВОЛЗ с прямой, или внутренней, (рис.2.1а) и внешней модуляцией (рис.2.1б) оптического излучения лазера. Эти блок-схемы являются исходными при теоретическом анализе динамических и статистических свойств реальных ОАГ. При этом, с целью придать анализу большую общность, используется нестандартный подход. В рамках этого подхода функциональные блоки рассматриваются как линейные и/или нелинейные многополюсники, свойства которых описываются решениями той или иной системы дифференциальных линейных или нелинейных уравнений, в эквивалентных параметрах, например, Y-параметрах, и тем или иным набором взаимно связанных входных и выходных переменных (электрических токов, напряжений, напряжённости электрической компоненты электромагнитного поля, или оптического излучения, и т. п.

        Для определения частоты и амплитуды генерации рассмотрим ОАГ, в котором волоконно-оптическая система ВОС может быть образована одним оптическим волокном (рис.2.1 а,в) или двумя оптическими волокнами ВС1 и ВС2 (рис.2.1 б,г), то есть образована системой последовательно соединенных одного одномодового волоконно-оптического световода ВС0 и из двух ВС1 и ВС2,

а)                                                                       б)

 

                 в)                                                      г)

Рис. 2.1.  Функциональные схемы ОАГ а) и б) являются схемами ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера. Функциональные схемы ОАГ в) и г) являются схемами ОАГ с внешним электрооптическим модулятором Маха-Цендера (МЦ). Функциональные схемы ОАГ б) и г) содержат   дифференциальную или составную ВОЛЗ .

 

соединенных между собой направленными ответвителями Y или Х – типов (рис.2.1). В схему рис.2.1а входят, последовательно замкнутые в кольцо,  лазер ,являющийся модулированным источником света (МИС), на основе, например, модулируемого квантово-размерный лазерный диод, волоконно-оптическая система (ВОС), например, на базе одномодового мало дисперсионного волоконного световода ВС0 или составной ВОС на базе  двух ВС1 и ВС2 c разными геометрическими  длинами, соединенных друг с другом с помощью оптических направленных ответвителей (НО )  Y – или  X- типов, фотодиод (ФД), например, pin –фотодиод, нелинейный широкополосный усилитель (НУ) СВЧ или ВЧ диапазонов, электронный высокодобротный  фильтр (Ф)  СВЧ (или  ВЧ диапазона), например, на основе диэлектрического СВЧ резонатора.

Основным отличием  схемы с внешним модулятором лазера рис.2.1 в и г от схемы ОАГ с прямой модуляцией рис.2.1 а, б  является наличие внешнего электрооптического модулятора МЦ.

Другой особенностью схем рис.2.1б и г от схем ОАГ рис.2.1а и в  является наличие в них  дифференциальной  или  составной волоконно-оптическая линия задержки, которая образована двумя оптическими волокнами, имеющими  разную временную задержку T1 и T2. В схеме с прямой модуляцией (рис.2.1а,б) ВОЛЗ образована одним или двумя волоконно-оптическими световодами разной геометрической длины.  

Особенностью схем ОАГ с прямой модуляцией рис.2.1 а и б является возможность работы в режиме модуляции амплитуды ( или интенсивности) лазерного излучения КЛД. Схемы ОАГ  с внешней  модуляцией рис.2.1в и г  работают в режиме фазовой модуляции  лазерного излучения КЛД. При этом фазовая модуляция  лазерного излучения КЛД осуществляется в одном из оптических каналов модулятора МЦ.

При этом при введении дополнительно в оптические каналы ВОС оптических фильтров появляется возможность селектировать   одну из трех оптических частот  и реализуется в этом случае режим передачи двух оптических частот на  ФД. Этот режим можно называть режимом ОАГ с одной боковой оптической частотой. Также в этом случае осуществляется режим самогетеродинирования (глава1). 

Добавим, что  все схемы ОАГ (рис.2.1) представляют собой генератор с умножителем двух задержанных колебаний(глава1). В таких схемах ОАГ реализуется режим компенсации фазовых флуктуаций  генератора ,которым в данном случае является лазер КЛД.

Другой особенностью схем ОАГ (рис.2.1) является зависимость радиочастоты генерации от оптической частоты. В схемах ОАГ с прямой модуляцией реализуется режим управления оптической частотой лазера КЛД при изменении радиочастоты генерации ОАГ, например, изменением собственной частоты радиочастотного фильтра Ф.

 

  1. 2. Математическая модель автономного оптоэлектронного генератора ОАГ с дифференциальной ВОЛЗ

         Введем феноменологически (доказательство представим в разделе 2.7 данной главы), что  упрощенная математическая модель автономного оптоэлектронного генератора ОАГ, схема которого изображена на рис. 2.1 а  [149] в режиме установившихся колебаний   близких к гармоническим представляет систему двух   дифференциальных уравнений для радиочастотных  автоколебаний  генерации ОАГ нормированного тока накачки КЛД (на входе КЛД)  и колебаний напряженности оптического излучения  лазера КЛД( оптических колебаний  лазера)  

 

            (2.1.1),

            (2.1.2), 

 

  где - нормированная мощность (нормированный квадрат напряженности электрического поля) на выходе лазера КЛД, - напряженность  электрического  поля накачки лазера,   - переменная составляющая нормированного тока накачки КЛД,  - нелинейная зависимость напряженности ЭМП  на выходе  активного элемента оптического усилителя от напряженности ЭМП на его входе,        - нелинейная зависимость переменной составляющей тока на выходе  электронного усилителя от тока на его входе, соответственно, , - «ланжевеновские» шумовые составляющая напряженности поля  в лазере и электрического напряжения автоколебаний ОАГ соответственно,  - коэффициенты передачи оптического усилителя в лазере,  - коэффициент передачи ВОЛЗ, ,  -  собственные частоты оптического резонатора лазера КЛД и радиочастотного фильтра  соответственно,  ,  - времена задержки в лазере КЛД и ВОЛЗ соответственно,  ,  - постоянные времени оптического резонатора в лазере и радиочастотного фильтра РФ соответственно.

Первое уравнение (2.1.1) описывает формирование оптических колебаний в лазере КЛД , второе уравнение (2.1.2) описывает формирование радиочастотных колебаний в ОАГ. «Ланжевеновские» шумовая составляющая напряженности поля  в лазере КЛД описывает влияние фазового шума спонтанного излучения лазера на формирование колебаний КЛД.

 В ОАГ с внешним модулятором Маха-Цендера МЦ (рис. 2.1 в и г   )в уравнении (2)         являются зависимыми от решения уравнения для лазера,  а коэффициент передачи ВОЛЗ  определяется коэффициентом передачи модулятора МЦ, который зависим от оптической частоты лазера близкой к . Выявленными в данной работе особенностями ОАГ с прямой модуляцией КЛД (в малосигнальном режиме) являются: потенциально сверх малые фазовые шумы лазера и ОАГ в целом. Это достигается благодаря полной оптической развязке узлов лазерного генерирования и радиочастотной модуляции, технологическая сложность конструкции ОАГ в связи с наличием  модулятора Маха-Цендера.

 В ОАГ с прямой модуляцией КЛД (рис. 2.1 а и б )связь уравнений (1) и (2) является более сложной:  в (1) параметры , ,  модулируются  переменной составляющей тока накачки и  являются зависимыми от уравнения (2),то есть уравнение (1) для лазера  является уравнением с модулируемыми параметрами. Выявленными в данной работе особенностями ОАГ с прямой модуляцией КЛД  в режиме малого сигнала являются: наличие сопутствующей частотной модуляции с низким индексом оптического излучения лазера, малый уровень амплитуды  СВЧ колебаний генерации при выборе лазерного диода с малой шириной спектральной линией лазера менее 10МГц, компактность и технологическая простота конструкции.   

Для  получения зависимостей амплитуды и частоты колебаний генерации ОАГ  представим   КЛД в виде трехполюсника с определенными  передаточной характеристикой и крутизной преобразования  переменной составляющей тока накачки лазера в оптическую мощность,  и положим шумовые составляющие равными нулю.

Тогда  схему оптоэлектронного генератора ОАГ с ВОЛЗ (2.1.1) можно представить соединенными в кольцо блоками ВОЛЗ, нелинейного усилителя НУ, радиочастотного фильтра Ф, ответвителя О ( рис.2.2.).  Для получения дифференциальных уравнений оптоэлектронного генератора  рассмотрим основные  его составляющие элементы, определим их коэффициенты передачи и Y-параметры. Пользуясь методикой, используемой при анализе  транзисторных автогенераторов, получим укороченные  уравнения для ОАГ ВОЛЗ [3].В этой части главы при выводе ДУ  мы пренебрежем влиянием спонтанного излучения лазера.

 

.

Рис. 2.2. Схема оптоэлектронного генератора ОАГ с ВОЛЗ.

 

Для комплексной медленно меняющейся амплитуды колебаний на входе нелинейного усилителя для ОАГ ВОЛЗ, собранного по схеме рис. 2.2. укороченные дифференциальные уравнения для ОАГ ВОЛЗ записываются в виде:

 

 

где - управляющая проводимость («укороченное представление»), - напряжение на входе нелинейного усилителя (НУ), и - нелинейные токи на выходе и входе НУ, соответственно, - коэффициент влияния тока на входе НУ на ток на выходе НУ, общем случае,  зависящего от .

Данные   уравнения дают возможность записать уравнения ОАГ с учетом коэффициентов передачи    ВОЛЗ, фотодетектора, нелинейного усилителя НУ и радиочастотного фильтра. Следует учесть, что электрический ток ФД  в замкнутой системе ОАГ по схеме 2.2  определяется, как  произведение выходного тока накачки  и коэффициента обратной связи цепи, образованной  КЛД (или КЛД совместно с внешним модулятором), волоконно-оптической системой ВОС, и фотодетектором ФД.

Лазер или квантоворазмерный лазерный диод представляет собой оптический квантовый генератор(ОКГ).  В качестве лазера в схемах  ОАГ с прямой внутренней модуляцией используется квантоворазмерный лазерный диод КЛД, излучение которого модулируется по амплитуде напряженности (или по интенсивности). Модуляция интенсивности КЛД ведется током накачки.  В схемах  ОАГ с   внешним модулятором Маха-Цендера используется немодулированный лазер. Здесь в начале этой главы 2 для облегчения математических выкладок мы упростим модель КЛД. К основным характеристикам  КЛД, которые необходимы для анализа ОАГ,  относятся крутизна Sл  ватт-амперной характеристики, и передаточная функция КЛД ), которая зависит от  постоянной составляющей тока накачки  ,  - пороговое значение тока накачки   КЛД . Определим для начала в простом виде коэффициент передачи лазера  КЛД. Рассмотрим схему прямой модуляции излучения лазера током накачки (смещения).

В схеме прямой модуляции излучения лазера ток накачки представим в виде , где  и   постоянная и переменная составляющие тока накачки, а   – радиочастота модуляции тока накачки.

Аналогично, плотность потока фотонов на выходе резонатора представим в виде , где ,  -постоянная и переменная составляющие плотности потока фотонов в резонаторе КЛД. Комплексный коэффициент передачи лазера КЛД при некогерентном оптическом фотодетектировании для одночастотного режима генерации КЛД  (с частотой оптического излучения  ) определяется  отношением

 

                                                  (2.3)

 

Электрооптический модулятор используется в схемах ОАГ с внешней модуляцией лазерного излучения. Оптическое излучение лазера проходит через модулятор МЦ , волоконный световод и поступает на приемную площадку фотодиода ФД. На площадке ФД складываются два оптических излучения, прошедшие модулятор МЦ  по первому и второму    оптическим каналам .

При малой амплитуде напряжения входного сигнала модуляции на МЦ можно воспользоваться  линеаризацией   аргумента  результата интерференции  ,  и для  удобства  ввести коэффициент передачи модулятора МЦ  равный ,где  – коэффициент возбуждения оптического канала модулятора МЦ,  , - времена задержки в первом и втором оптических каналах МЦ,  - оптическая частота лазера.

В схеме ОАГ (рис. 2.1) на вход ВОС (вход первого оптического световода ВС0) поступает плотность потока фотонов с выхода КЛД. Мощность излучения  на выходе лазера КЛД равна мощности излучения на входе ВОС и представляется  в виде , где  ,  - постоянная и переменная составляющая плотности потока фотонов на входе ВОС. Мощность излучения на выходе ВОС представим в виде          , где ,  - постоянная и переменная составляющая плотности потока фотонов на выходе ВОС.

Комплексный коэффициент передачи ВОС  определяется как отношение

 

                                                   (2.8)

 

Определим коэффициент передачи  для схемы  ОАГ (рис.2.1а), в которой ВОС содержит три световода ВС0 ,ВС1 ,ВС2 .  Коэффициент передачи такой ВОС  определяется как

 

                      (2.9)

 

где , , - коэффициенты передачи световодов ВС0, ВС1 , ВС2, соответственно, A , B -коэффициенты возбуждения ВС1 и ВС2 , соответственно, а  M0 -коэффициент оптических потерь на согласование     ВС0 , ВС1 , ВС0световодов, соответственно.

Фотодетектор является преобразователем оптического излучения в электрический ток. Рассмотрим определения коэффициента передачи фотодиода (ФД). При  фотоприеме оптический сигнал с выхода световода поступает непосредственно на светочувствительную площадку ФД. При фотодетектировании одночастотного излучения лазера, прошедшего ВОС, на ФД, ток на выходе ФД представим в виде , где  и   - постоянная и переменная составляющие тока ФД, а ω – радиочастота модуляции тока ФД. Аналогично плотность потока фотонов на оптическом входе ФД представим в виде (или SFD=S0FD+S1FDexp(jωt)), где = S0FD  , =S1FD - постоянная и переменная составляющая плотности потока фотонов на входе ФД.  Комплексный коэффициент передачи ФД для линеаризованной системы  определяется как отношение

                                                                        (2.10)

Напряжение на сопротивлении нагрузки    фотодетектора    . Ток  ФД  есть сумма  всех фототоков по индексу . Фототок есть результат умножения напряженности излучения на комплексно-сопряженную величину . Для тока ФД справедливо выражение

 

                                         (2.13)                                            

 

В (2.13) коэффициент передачи ФД  определяется выражением

                        ,

где - модуль коэффициента передачи (крутизна преобразования) и   - постоянная времени фотодетектора.

Нелинейный электронный усилитель  является нелинейным элементом  в ОАГ. В системе ОАГ имеется очень богатый выбор нелинейностей: лазера, оптического волокна, фотодетектора и электронного усилителя.  В данном разделе для простоты считается , что нелинейным элементом является только электронный усилитель.  В качестве усилителя  рассмотрим транзисторный усилительный каскад, включенный по схеме с общим эмиттером ОЭ. Статичкскими характеристиками транзистора с ОЭ являются- входная и семейство выходных   характеристик.  , -  мгновенные значения тока и напряжение базы,  ,  - мгновенные значения  тока и напряжения коллектора,  ,  - постоянные ток и напряжение коллектора  , - постоянные ток и напряжение базы,  ,  - постоянные ток и напряжение коллектора. Рассмотрим режим  подачи гармонического сигнала на вход транзистора при постоянном смещении по базе и по коллектору. Статические проходные характеристики в схеме с общим эмиттером имеют вид  и, для простоты, как для многих задач в теории колебаний, аппроксимируются традиционным полиномом 3-ей степени . Усилитель, состоящий из последовательно включенных транзисторных каскадов будет иметь суммарную характеристику, в виде комбинаций  нелинейностей. Сложность отыскания колебательной характеристики определяется существованием разделительных межкаскадных связей, которые выделяют постоянную составляющую. То есть при «попадании» первого транзистора в нелинейный режим, будем иметь зависимость постоянной составляющей выходного напряжения от амплитуды сигнала на входе, что приведет к смещению на проходной характеристике. В дальнейшем для простоты рассмотрим один транзисторный каскад с проходной характеристикой  . Крутизну передачи определим, как . Пусть на вход каскада поступает гармонический сигнал вида , где - амплитуда, -частота, -фаза. При этом колебательная характеристика, определяемая как  зависимость амплитуды первой   гармоники  тока коллектора ,от напряжения на входе НУ (или на базе), находится как среднее значение или отношение интеграла по параметру к  , и равна

.

 Среднюю (за период) крутизну  по амплитуде первой гармоники определим, как . В общем случае, активный элемент активного элемента  АЭ может быть инерционным. В данном разделе считаем АЭ безынерционным.   Выражение для мгновенного значения напряжения  на выходе фотодетектора ФД  или   входе НУ записывается в виде

 

,                                                      (2.16)

 

где коэффициент передачи фотодетектора определяется как

 

                                                (2.17)

 

             Выражение для мгновенного значения напряжения   на выходе нелинейного усилителя   НУ или на входе радиочастотного фильтра Ф записывается в виде

 

                                                        (2.18).

 Радиочастотный фильтр. В замкнутой системе ОАГ узкополосный высокодобротный  радиочастотный фильтр (РФ) предназначен для  фильтрации одного типа колебания из совокупности возможных колебаний.     Коэффициент передачи радиочастотного фильтра по току  определим, как

 

                ,

 

 где   ,  - амплитуды переменных составляющих электрических токов на выходе и входе РФ, соответственно, ,  - потери в фильтре , - постоянная времени фильтра, - добротность фильтра, = - постоянная времени, = - и резонансная частота радиочастотного фильтра, соответственно  - собственная частота фильтра.

Y-матрица ВОЛЗ. Определим, исходя из  рис. 2.2,   Y-матрицу  ВОЛЗ ,которая связывает входной ток КЛД  и выходной ток ФД из   напряжения на входе ЛД и выходе ФД  ,

 

 

где , , , .Полагая влияние на   равным нулю в разомкнутой цепи ОАГ,  Y-матрица  ВОЛЗ записывается в виде

 

                                    (2.20),

 

где входная проводимость ЛД (или входная проводимость ВОЛЗ) ,  выходная проводимость ФД (или ВОЛЗ)  и  -  активная и реактивная составляющие собственных проводимостей  ВОЛЗ,  - модуль взаимной проводимости ВОЛЗ,  - эффективное время задержки   электрического сигнала в ВОЛЗ.

 

% Generated by GrindEQ Word-to-LaTeX \documentclass{article} %%% use \documentstyle for old LaTeX compilers \usepackage[english]{babel} %%% 'french', 'german', 'spanish', 'danish', etc. \usepackage{amssymb} \usepackage{amsmath} \usepackage{txfonts} \usepackage{mathdots} \usepackage[classicReIm]{kpfonts} \usepackage[dvips]{graphicx} %%% use 'pdftex' instead of 'dvips' for PDF output % You can include more LaTeX packages here \begin{document} %\selectlanguage{english} %%% remove comment delimiter ('%') and select language if required \noindent \textbf{Глава 2. Теоретический анализ лазерного оптоэлектронного автогенератора на основе дифференциальных уравнений} В главе 2 производится анализ основных свойств автономного лазерного оптоэлектронного автогенератора с дифференциальной ВОЛЗ на основе дифференциальных уравнений. Исследуются зависимости частоты и амплитуды стационарных автоколебаний от параметров электронной и оптической частей ОЭГ. В начале данной главы 2, в отличии от глав 5 и 6 , при выводе укороченных дифференциальных и уравнений баланса фаз амплитуд считается, что электронный усилитель НУ является единственным нелинейным радиоэлектронным устройством схемы ОЭГ, а все остальные устройства (лазер, оптический модулятор, фотодетектор) и элементы, входящие в кольцо положительной обратной связи ОЭГ, являются линейными элементами. На основе полуклассических уравнений КЛД произведен анализ схемы с прямой модуляцией. В этом анализе лазер выступает, как самостоятельная колебательная система. \textbf{ 2.1. Функциональные схемы ОЭГ с прямой и внешней модуляцией оптического излучения} \textbf{} \noindent Рассмотрим две базовые функциональные блок-схемы ОЭГ с дифференциальной ВОЛЗ с прямой, или внутренней (рис.2.1а) и внешней модуляцией (рис.2.1б) оптического излучения лазера. Эти блок-схемы являются исходными при теоретическом анализе динамических и статистических свойств реальных ОЭГ. При этом, с целью придать анализу большую общность, используется нестандартный подход. В рамках этого подхода функциональные блоки рассматриваются как линейные и/или нелинейные многополюсники, свойства которых описываются решениями той или иной системы дифференциальных линейных или нелинейных уравнений в эквивалентных параметрах, например, Y-параметрах, и тем или иным набором взаимно связанных входных и выходных переменных (электрических токов, напряжений, напряжённости электрической компоненты электромагнитного поля, или оптического излучения, и т. п.) \noindent Для определения частоты и амплитуды генерации рассмотрим ОЭГ, в котором волоконно-оптическая система ВОС образована системой последовательно соединенных одного одномодового волоконно-оптического световода ВС ${}_{0}$ и из двух ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$, \includegraphics*[width=5.61in, height=2.75in, keepaspectratio=false]{image1} а) б) \noindent \noindent в) г) Рис. 2.1 Функциональные схемы ОЭГ а) с прямой модуляцией тока накачки лазера и б) внешним электрооптическим модулятором Маха-Цендера (МЦ). Функциональная схема ОЭГ с дифференциальной ВОЛЗ (СВОЛЗ) с направленными ответвителями НО Y- и X- типов где сказуемое?. Что такое в и г? \noindent соединенных между собой направленными ответвителями Y или Х -- типов (рис.1). В схему рис.2.1 а входят: последовательно замкнутые в кольцо лазер, являющийся модулированным источником света (МИС), на основе, например, модулируемого КЛД, волоконно-оптическая система (ВОС), например, на базе одномодового малодисперсионного волоконного световода ВС${}_{0}$ или составной ВОС на базе двух ВС${}_{1 }$и ВС${}_{2 }$c разными геометрическими длинами, соединенных друг с другом с помощью оптических направленных ответвителей (НО) Y-- или X-типов, фотодиод (ФД), например, pin--фотодиод, нелинейный широкополосный усилитель (НУ) СВЧ или ВЧ диапазонов, электронный высокодобротный фильтр (Ф) СВЧ (или ВЧ диапазона), например, на основе диэлектрического СВЧ резонатора. Основным отличием схемы с внешним модулятором лазера рис.2.1 в и г от схемы ОАГ с прямой модуляцией рис.2.1 а,б является наличие внешнего электрооптического модулятора МЦ. Другой особенностью схем рис.2.1в и г от схем ОЭГ рис.2.1а и б является наличие в них дифференциальной или составной ВОЛЗ, которая образована двумя оптическими волокнами, имеющими разную временную задержку \textit{T${}_{1}$} и \textit{T${}_{2}$}. В схеме с прямой модуляцией (рис.2.1а,б) ВОЛЗ образована одним или двумя волоконно-оптическими световодами разной геометрической длины. Особенностью схем ОЭГ с \textit{прямой модуляцией} рис.2.1 а и б является возможность работы в режиме \textit{модуляции амплитуды (или интенсивности)} лазерного излучения КЛД. Схемы ОЭГ с внешней \textit{ модуляцией} рис.2.1в и г работают в режиме \textit{фазовой }модуляции лазерного излучения КЛД. При этом \textit{фазовая }модуляция лазерного излучения КЛД осуществляется в одном из оптических каналов модулятора МЦ. При этом, при введении дополнительно в оптические каналы ВОС оптических фильтров появляется возможность селектировать одну из трех оптических частот и реализуется в этом случае режим передачи двух оптических частот на ФД. Этот режим можно называть режимом ОЭГ с одной боковой оптической частотой. Также в этом случае осуществляется режим самогетеродинирования (глава 1). Добавим, что все схемы ОЭГ (рис.2.1) представляют собой генератор с умножителем двух задержанных колебаний (глава1). В таких схемах ОЭГ реализуется режим компенсации фазовых флуктуаций генератора, которым в данном случае является лазер КЛД. Другой особенностью схем ОЭГ (рис.2.1) является зависимость радиочастоты генерации от оптической частоты. В схемах ОЭГ с прямой модуляцией реализуется режим управления оптической частотой лазера КЛД при изменении радиочастоты генерации ОЭГ, например, изменением собственной частоты радиочастотного фильтра Ф. \textbf{2.2.} \textbf{Математическая модель автономного оптоэлектронного генератора ОАГ с дифференциальной ВОЛЗ} \noindent Введем феноменологически (доказательство представим в разделе 2.7 данной главы), что упрощенная математическая модель автономного ОЭГ, схема которого изображена на рис. 2.1 а [149] в режиме установившихся колебаний, близких к гармоническим, представляет систему двух дифференциальных уравнений для радиочастотных автоколебаний генерации ОАГ нормированного тока накачки КЛД (на входе КЛД) $J(t)$ и колебаний напряженности оптического излучения \textit{лазера КЛД (}оптических колебаний лазера) $\; E(t)$ \noindent \[{\rm \; }\frac{d^{2} E}{dt^{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{OF} } \frac{d^{} E}{dt} {\rm +\; (2}\pi \nu _{OF} )^{2} E{\rm =\; }S_{O{\rm NY}} [E_{0p}^{} ,K_{OY} ,E(t-T_{OL} )]\frac{d^{} E(t-T_{OL} )}{dt^{} } +\xi _{n} (2.1.1), \] \[{\rm \; }\frac{d^{2} J}{dt^{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{F} } \cdot \frac{d^{} J}{dt} {\rm +\; (2}\pi \cdot f_{F0} {\rm )}^{2} J{\rm =\; }S_{{\rm NY}} [E_{0L}^{2} K_{BZ} \cdot J(t-T_{BZ} )]\frac{d^{} J(t-T_{BZ} )}{dt} +\Psi _{n} (2.1.2), \] \noindent где $E_{0L}^{2} $- нормированная мощность (нормированный квадрат напряженности электрического поля) на выходе лазера КЛД, $E_{0p}^{} $- напряженность электрического поля накачки лазера, $J$ - нормированный ток накачки КЛД, $S_{O{\rm NY}} $,$S_{{\rm NY}} $- нелинейные зависимости чего от чего? активного элемента оптического усилителя и электронного усилителя соответственно, $\xi _{n} $,$\Psi _{n} $- «ланжевеновские» шумовые составляющая напряженности поля в лазере и электрического напряжения автоколебаний ОЭГ, соответственно, $K_{OY} $ - коэффициенты передачи оптического усилителя в лазере, $K_{BZ} $ - коэффициент передачи ВОЛЗ, $\nu _{OF} $,$f_{F0} $ - собственные частоты оптического резонатора лазера КЛД и радиочастотного фильтра, соответственно, $T_{OL} $, $T_{BZ} $ - времена задержки в лазере КЛД и ВОЛЗ, соответственно, $T_{OF} $,$T_{F} $ - постоянные времени оптического резонатора в лазере и радиочастотного фильтра РФ соответственно. Первое уравнение \eqref{GrindEQ__2_1_1_} описывает формирование оптических колебаний в лазере КЛД, второе уравнение \eqref{GrindEQ__2_1_2_} описывает формирование радиочастотных колебаний в ОЭГ. «Ланжевеновские» шумовая составляющая напряженности поля $\xi _{n} $ в лазере КЛД описывает влияние фазового шума \textit{спонтанного излучения лазера} на формирование колебаний КЛД. В \textit{ОАГ с внешним модулятором Маха-Цендера МЦ} (рис. 2.1 в и г) в уравнении \eqref{GrindEQ__2_} $E_{0L}^{2} $ являются зависимыми от решения уравнения для лазера, а коэффициент передачи ВОЛЗ $K_{BZ} $ определяется коэффициентом передачи модулятора МЦ, который зависим от оптической частоты лазера, близкой к $\nu _{OF} $. Выявленными в данной работе особенностями ОЭГ с прямой модуляцией КЛД (в малосигнальном режиме) являются: потенциально сверх малые фазовые шумы лазера и ОЭГ в целом. Это достигается благодаря полной оптической развязке узлов лазерного генерирования и радиочастотной модуляции, технологическая сложность конструкции ОАГ в связи с наличием модулятора Маха-Цендера. В ОЭАГ с \textit{прямой модуляцией} \textit{КЛД }(рис. 2.1 а и б) связь уравнений \eqref{GrindEQ__1_} и \eqref{GrindEQ__2_} является боле сложной: в \eqref{GrindEQ__1_} параметры $K_{OY} $, $\nu _{OF} $, $T_{OF} $ модулируются переменной составляющей тока накачки и являются зависимыми от уравнения \eqref{GrindEQ__2_}, то есть уравнение \eqref{GrindEQ__1_} для лазера является уравнением с модулируемыми параметрами. Выявленными в данной работе особенностями ОЭГ с прямой модуляцией КЛД в режиме малого сигнала являются: наличие сопутствующей частотной модуляции с низким индексом оптического излучения лазера, малый уровень амплитуды СВЧ колебаний генерации при выборе лазерного диода с малой шириной спектральной линией лазера менее 10 МГц, компактность и технологическая простота конструкции. Для получения зависимостей амплитуды и частоты колебаний генерации ОЭГ представим КЛД в виде трехполюсника с определенными передаточной характеристикой и крутизной преобразования переменной составляющей тока накачки лазера в оптическую мощность, и положим шумовые составляющие равными нулю. Тогда схему оптоэлектронного генератора ОЭГ с ВОЛЗ \eqref{GrindEQ__2_1_1_} можно представить соединенными в кольцо блоками ВОЛЗ, нелинейного усилителя НУ, радиочастотного фильтра Ф, ответвителя О (рис. 2.2) Для получения дифференциальных уравнений ОАГ рассмотрим основные его составляющие элементы, определим их коэффициенты передачи и \textit{Y}-параметры. Пользуясь методикой, используемой при анализе транзисторных автогенераторов, получим укороченные уравнения для ОЭГ ВОЛЗ [3].В этой части главы при выводе ДУ мы пренебрежем влиянием спонтанного излучения лазера. \noindent .\includegraphics*[width=5.18in, height=3.87in, keepaspectratio=false]{image2} \noindent Рис. 2.2. Схема оптоэлектронного генератора ОЭГ с ВОЛЗ. \noindent Для комплексной медленно меняющейся амплитуды колебаний $U_{a} $ на входе нелинейного усилителя для ОЭГ ВОЛЗ, собранного по схеме рис. 2.2. укороченные дифференциальные уравнения для ОЭГ ВОЛЗ записываются в виде: \[Y_{a} (j\omega )\cdot U_{a} =I_{b} -K_{a} (j\omega )\cdot I_{a} \] \noindent где $Y_{a} (j\omega )$- управляющая проводимость («укороченное представление»), $U_{a} $- напряжение на входе нелинейного усилителя (НУ), $I_{b} =I_{K} $ и $I_{a} =I_{} $- нелинейные токи на выходе и входе НУ, соответственно, $K_{a} (j\omega )$- коэффициент влияния тока на входе НУ на ток на выходе НУ почему этот коэффициент зависит от оператора). Данные уравнения дают возможность записать уравнения ОЭГ с учетом коэффициентов передачи ВОЛЗ, фотодетектора, нелинейного усилителя НУ и радиочастотного фильтра. Следует учесть, что электрический ток ФД $i_{FD} $ в замкнутой системе ОЭГ по схеме 2.2 определяется, как произведение выходного тока накачки $i_{LD} =J_{L} $ и коэффициента обратной связи цепи, образованной КЛД (или КЛД совместно с внешним модулятором), ВОС, и ФД. \textbf{Лазер или квантоворазмерный лазерный диод }представляет собой оптический квантовый генератор (ОКГ). В качестве лазера в схемах ОЭГ с прямой внутренней модуляцией используется квантоворазмерный лазерный диод КЛД, излучение которого модулируется по амплитуде напряженности (или по интенсивности). Модуляция интенсивности КЛД ведется током накачки. В схемах ОАГ с внешним модулятором Маха-Цендера используется немодулированный лазер. Здесь в начале этой главы 2 для облегчения математических выкладок мы упростим модель КЛД. К основным характеристикам КЛД, которые необходимы для анализа ОАГ, относятся крутизна \textit{S${}_{л}$ } ватт-амперной характеристики и передаточная функция КЛД $_{L} (j\omega ,{\rm \; }J_{0L} ,{\rm \; }J_{0Lth} )$), которая зависит от постоянной составляющей тока накачки $J_{0L} $ , ${\rm \; }J_{0Lth} $- пороговое значение тока накачки КЛД . Определим для начала в простом виде коэффициент передачи КЛД. Рассмотрим схему прямой модуляции излучения лазера током накачки (смещения). \noindent В схеме прямой модуляции излучения лазера ток накачки представим в виде ${\rm \; }J_{L} =J_{L} _{0} {\rm \; }+J_{L} _{{\rm 1}} {\rm \; exp}({\rm j}\omega {\rm t})$, где $J_{L} _{0} $ и $J_{L} _{{\rm 1}} $ постоянная и переменная составляющие тока накачки, а $\omega =2\pi f$\textit{ }-- радиочастота модуляции тока накачки. Аналогично, плотность потока фотонов на выходе резонатора представим в виде ${\rm \; }P_{L} =P_{L} _{0} {\rm \; }+P_{L} _{{\rm 1}} {\rm \; exp}({\rm j}\omega {\rm t})$, где $P_{L} _{0} $, $P_{L} _{{\rm 1}} $ - постоянная и переменная составляющие плотности потока фотонов в резонаторе КЛД. Комплексный коэффициент передачи лазера КЛД при некогерентном оптическом фотодетектировании для одночастотного режима генерации КЛД (с частотой оптического излучения $\nuup$${}_{л}$ ) определяется отношением \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_} {\rm \; }K_{L} (j\omega ,{\rm \; }\nu _{L} )={\rm \; }[P{\rm \; }_{L1} (j\omega ,{\rm \; }\nu _{;} )/J_{L1} \left(j\omega {\rm \; }\right)] \end{equation} Электрооптический модулятор используется в схемах ОЭГ с внешней модуляцией лазерного излучения. Оптическое излучение лазера проходит через модулятор МЦ, волоконный световод и поступает на приемную площадку ФД. На площадке ФД складываются два оптических излучения, прошедшие модулятор МЦ по первому ${\rm \; }E_{1L} {\rm \; =\; }E_{1L} {\rm (}R)$ и второму ${\rm \; }E_{2L} {\rm \; =\; }E_{2L} {\rm (}R)$ оптическим каналам. При малой амплитуде напряжения входного сигнала модуляции на МЦ можно воспользоваться линеаризацией аргумента ${\rm arg}E_{12L} $ результата интерференции$E_{1L} $\textbf{ ,}$E_{2L} $ и для удобства ввести коэффициент передачи модулятора МЦ $K_{MZ} $, равный${\rm \; }\left|K_{MZ} \right|{\rm =}k_{01} \cdot \{ 1-\cos {\rm \; }[2\pi \nu _{0} (T_{M20} -T_{M10} )]\} ^{1/2} $. Обозначения? В схеме ОАГ (рис. 2.1) на вход ВОС (вход первого оптического световода ВС${}_{0}$) поступает плотность потока фотонов с выхода КЛД. Мощность излучения на выходе КЛД равна мощности излучения на входе ВОС и представляется в виде ${\rm \; }P_{{\rm bx\; }} =P_{0{\rm \; bx}} +P_{{\rm 1\; bx\; }} {\rm exp}({\rm j}\omega {\rm t})$, где $P_{0{\rm \; bx}} $, $P_{{\rm 1\; bx\; }} $ - постоянная и переменная составляющая плотности потока фотонов на входе ВОС. Мощность излучения на выходе ВОС представим в виде ${\rm \; }P_{2KE2>A} =P_{0{\rm \; BC}} +P_{{\rm 1}} _{BC} _{{\rm \; }} {\rm exp}({\rm j}\omega {\rm t})$, где $P_{0{\rm \; BC}} $, $P_{{\rm 1\; BC}} $ - постоянная и переменная составляющая плотности потока фотонов на выходе ВОС. Комплексный коэффициент передачи ВОС определяется как отношение \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_8_} K_{BC} \left(j\omega \right)=[P_{{\rm 1\; BC}} \left(j\omega \right)/P_{{\rm 1\; bx\; }} \left(j\omega \right)]{\rm \; } \end{equation} \noindent Определим коэффициент передачи для схемы ОЭГ (рис.2.1а), в которой ВОС содержит три световода ВС${}_{0}$, ВС${}_{1}$, ВС${}_{2}$. Коэффициент передачи такой ВОС определяется как \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_9_} K_{BC} (j\omega )=M_{0} {\rm \; }K_{BC0} (j\omega ){\rm \; }[A{\rm \; }K_{BC1} (j\omega )+B{\rm \; }K_{BC2} (j\omega )]\; \; \; \; \; \; {\rm \; } \end{equation} \noindent где $K_{BC0} (j\omega )$,$K_{BC1} (j\omega )$, $K_{BC2} (j\omega )$ - коэффициенты передачи световодов ВС${}_{0}$ , ВС${}_{1}$, ВС${}_{2}$, соответственно, \textit{A}, \textit{B} -коэффициенты возбуждения ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$, соответственно, а \textit{M${}_{0}$} -коэффициент оптических потерь на согласование ВС${}_{0}$ , ВС${}_{1}$ , ВС${}_{0}$световодов, соответственно. \textbf{Фотодетектор} является преобразователем оптического излучения в электрический ток. Рассмотрим определения коэффициента передачи фотодиода (ФД)\textbf{. }При фотоприеме оптический сигнал с выхода световода поступает непосредственно на светочувствительную площадку ФД. При фотодетектировании одночастотного излучения лазера, прошедшего ВОС на ФД, ток на выходе ФД представим в виде$I_{FD} {\rm \; }=I_{0FD} {\rm \; }+I_{1FD} \exp (j\omega t)$, где $I_{0FD} $ и $I_{1FD} $ - постоянная и переменная составляющие тока ФД, а $\omegaup$ -- радиочастота модуляции тока ФД. Аналогично плотность потока фотонов на оптическом входе ФД представим в виде ${\rm \; }P_{L} =P_{L} _{0} {\rm \; }+P_{L} _{{\rm 1}} {\rm \; exp}({\rm j}\omega {\rm t})$(или \textit{S${}_{FD}$=S${}_{0}$${}_{FD}$+S${}_{1}$${}_{FD}$}exp(\textit{j$\omega$t})), где $P_{L} _{0} $=\textit{ S${}_{0}$${}_{FD}$ } ,\textit{ }$P_{L} _{{\rm 1}} $=\textit{S${}_{1}$${}_{FD}$} - постоянная и переменная составляющая плотности потока фотонов на входе ФД. Комплексный коэффициент передачи ФД для линеаризованной системы определяется как отношение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_10_} K_{FD} \left(j\omega \right)=[I_{1} _{FD} \left(j\omega \right)/S_{1} _{FD} {\rm \; }\left(j\omega \right)] \end{equation} Напряжение на сопротивлении нагрузки $Z_{FD} $ фотодетектора $u_{FD} =Z_{FD} \cdot i_{FD\Sigma } (R)$. Ток ФД $i_{FD\Sigma } (R)$ есть сумма всех фототоков $i_{FD} (R)$ по индексу $R$. Фототок $i_{FD} (R)$ есть результат умножения напряженности излучения $E_{12L} $ на комплексно-сопряженную величину $E_{12L}^{*} $. Для тока ФД справедливо выражение \textbf{} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_13_} {\rm \; }i_{FD\Sigma } {\rm =\; }\sum _{R}i_{FD} (R) =K_{FD} \cdot \sum _{R}[E_{12L} (R) E_{12L}^{*} (R)] \end{equation} В \eqref{GrindEQ__2_13_} коэффициент передачи ФД \textbf{$K_{FD} $} определяется выражением \[K_{FD} =\left|K_{FD} \right|\cdot \exp [-2j\pi fT_{FD} ],\] где $\left|K_{FD} \right|$- модуль коэффициента передачи (крутизна преобразования) и $T_{FD} $ - постоянная времени фотодетектора. \textbf{Нелинейный электронный усилитель} является нелинейным элементом в ОЭГ. В системе ОЭГ имеется очень богатый выбор нелинейностей: лазера, оптического волокна, фотодетектора и электронного усилителя. В данном разделе для простоты считается, что нелинейным элементом является только электронный усилитель. В качестве усилителя рассмотрим транзисторный усилительный каскад, включенный по схеме с общим эмиттером ОЭ. Статическими характеристиками транзистора с ОЭ являются входная $i_{B} =f_{B} (e_{B} )$ и семейство выходных $i_{K} =f_{K} (e_{K} )$ характеристик. $i_{B} $ , $e_{B} $- мгновенные значения тока и напряжение базы, $i_{K} $ , $e_{K} $ - мгновенные значения тока и напряжения коллектора, $I_{K0} $ , $e_{K0} $ - постоянные ток и напряжение коллектора $I_{B0} $ , $e_{B0} $- постоянные ток и напряжение базы, $I_{K0} $ , $e_{K0} $ - постоянные ток и напряжение коллектора. Рассмотрим режим подачи гармонического сигнала на вход транзистора при постоянном смещении по базе и по коллектору. Статические проходные характеристики в схеме с общим эмиттером имеют вид $i_{K} =f_{KB} (u_{B} )$ и аппроксимируются для простоты полиномом 3-ей степени $i_{K} =\alpha u_{B} -\beta u_{B}^{3} _{} $. Усилитель, состоящий из последовательно включенных транзисторных каскадов, будет иметь суммарную характеристику, в виде комбинаций нелинейностей. Сложность отыскания колебательной характеристики определяется существованием разделительных межкаскадных связей, которые выделяют постоянную составляющую. То есть при «попадании» первого транзистора в нелинейный режим, будем иметь зависимость постоянной составляющей выходного напряжения от амплитуды сигнала на входе, что приведет к смещению на проходной характеристике. В дальнейшем для простоты рассмотрим один транзисторный каскад с проходной характеристикой $i_{K} =\alpha u_{B} -\beta u_{B}^{3} _{} $. Крутизну передачи определим, как $S_{NY} =i_{K} /u_{B} =\alpha -\beta u_{B}^{2} _{} $. Пусть на вход каскада поступает гармонический сигнал вида $u_{} =U_{} \cos (\omega t-\phi _{0}^{} )$, где $U_{B} $- амплитуда, $\omega $- частота, $\phi _{0}^{} $- фаза. При этом колебательная характеристика, определяемая как зависимость амплитуды первой гармоники тока коллектора $I_{K} =f(U_{B} )$ , находится как среднее значение или отношение интеграла по параметру $\xi =\omega t-\phi _{0}^{} $ к $\pi $, и равна \[I_{K} =\frac{1}{\pi } \int _{-\pi }^{\pi }(\alpha u_{B} \cos \xi -\beta (u_{B}^{} \cos \xi )^{3} )\cos \xi d\xi =\alpha U_{B} -\frac{3}{4} \beta U_{B}^{3} .\] Среднюю (за период) крутизну по амплитуде первой гармоники определим, как $S_{NY1} =I_{K} /U_{B} =\alpha -(3/4)\beta U_{B}^{2} _{} $. В общем случае, активный элемент АЭ может быть инерционным. (В данном разделе считаем АЭ безынерционным.)Выражение для мгновенного значения напряжения $u_{FD} $ на выходе фотодетектора ФД или на входе НУ записывается в виде \noindent \textbf{} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_16_} {\rm \; }u_{FD} {\rm =}K_{FD} {\rm \; }E_{0L}^{2} \cdot K_{BLZ} \cdot U_{0M}^{} \cdot \exp [j2\pi f_{0} t)], \end{equation} \noindent где коэффициент передачи фотодетектора $K_{BLZ} $определяется как \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_17_} {\rm \; }K_{BLZ} {\rm =\; }K_{FD} \cdot M_{z}^{2} \cdot B_{1M} \cdot \exp [j2\pi f_{0} (T_{BC} +T_{M1} )] \end{equation} \noindent Выражение для мгновенного значения напряжения $u_{HY} $ на выходе НУ или на входе радиочастотного фильтра Ф записывается в виде \noindent \textbf{} \[{\rm \; }u_{HY} {\rm =\; }S_{{\rm HY}} [E_{0L}^{2} \cdot K_{BLZ} \cdot u_{FD} (t-T_{BC} )] (2.18).\] \textbf{ Радиочастотный фильтр. }В замкнутой системе ОАГ узкополосный высокодобротный радиочастотный фильтр (РФ) предназначен для фильтрации одного типа колебания из совокупности возможных колебаний. Коэффициент передачи радиочастотного фильтра по току определим, как \[K_{F} =\frac{I_{BSX} }{I_{BX} } =\frac{(j\omega )\cdot (1/T_{eF} )}{((j\omega )_{}^{2} +(1/T_{eF} )\cdot (j\omega )+(2\pi f_{0e} )_{}^{2} )} ,\] \noindent где $I_{BSX} $,$I_{BX} $- мплитуды переменных составляющих электрических токов на выходе и входе РФ, соответственно, $\omega =2\pi f$,$\delta _{e} $ - потери в фильтре $\delta _{e} =1/T_{eF} =f_{0e} /f_{0e} T_{eF} =f_{0e} /Q_{eF} $,$T_{eF} $- постоянная времени фильтра, $Q_{eF} $- добротность фильтра, $T_{F}^{} $=$T_{eF} $- постоянная времени, $f_{F0} $=$f_{0e} $- и резонансная частота радиочастотного фильтра, соответственно, $f_{0e} $ - собственная частота фильтра. \textbf{Y-матрица ВОЛЗ.} Определим, исходя из рис. 2.2, Y-матрицу ВОЛЗ, которая связывает входной ток КЛД $i_{LD} $ и выходной ток ФД $i_{FD} $ из напряжения на входе ЛД $u_{LD} $ и выходе ФД$u_{FD} $ , \[\left[\begin{array}{l} {i_{FD} } \\ {i_{LD} } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {y_{11} } & {y_{12} } \\ {y_{21} } & {y_{22} } \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} {u_{FD} } \\ {u_{LD} } \end{array}\right]\] \noindent где$y_{11} =i_{FD} /u_{FD} =\bar{G}_{1FD} \left(j\omega \right)$,$y_{12} =i_{FD} /u_{LD} $,$y_{21} =i_{LD} /u_{FD} =0$,$y_{22} =i_{LD} /u_{LD} $. Полагая влияние $u_{FD} $ на $i_{LD} $ равным нулю в разомкнутой цепи ОАГ, Y-матрица ВОЛЗ записывается в виде \[Y_{2} \left(j,\omega \right)=\left|\begin{array}{cc} {\bar{G}_{1FD} \left(j\omega \right)} & {\Gamma \left(\omega \right)\cdot 5^{-j\omega T_{BC} } } \\ {0} & {\bar{G}_{2LD} \left(j\omega \right)} \end{array}\right| (2.20),\] \noindent где входная проводимость ЛД (или входная проводимость ВОЛЗ) $\bar{G}_{1} \left(j\omega \right)=\bar{G}_{1FD} \left(j\omega \right)$, выходная проводимость ФД (или ВОЛЗ) $\bar{G}_{2} \left(j\omega \right)=\bar{G}_{2LD} $ и $\bar{G}_{i} =G_{i} +jB_{i} \left(\omega \right);$$G_{i} \left(\omega \right),$$B_{i} \left(\omega \right)$ - активная и реактивная составляющие собственных проводимостей ВОЛЗ, $\Gamma \left(\omega \right)=|Y_{2}^{12} \left(j\omega \right)|$ - модуль взаимной проводимости ВОЛЗ, $T_{BC} $ - эффективное время задержки электрического сигнала в ВОЛЗ. \noindent \noindent \textbf{2.3. Укороченные дифференциальные уравнений ОАГ с ВОЛЗ } Данный раздел посвящен выводу дифференциальных уравнений оптоэлектронного автогенератора с составной волоконной линией задержки (ОАГ СВОЛЗ). Анализ динамических характеристик автогенераторов с запаздывающей обратной связью (АГ с ЗОС) хорошо изучен на основе дифференциальных уравнений. В данном случае вывод основных уравнений для ОАГ СВОЛЗ будет аналогичным, как и для случая автогенераторов на ПАВ. Для таких автогенераторов хорошо разработан математический аппарат на основе применения метода укороченных уравнений в работах [ 69-72]. В диссертационной работе Константинова В.Н. был использован метод анализа ОАГ ВОЛЗ на основе малосигнальной схемы (с отсутствием инерционных элементов в активной цепи АГ), что позволило описать основные особенности и отличительные черты автогенераторов с ВОЛЗ. Ограничения, связанные с малым сигналом в кольце ОАГ ВОЛЗ и, как следствие, малый запас по самовозбуждению \textit{$\delta$}=0,001-0,01 и малый коэффициент усиления \textit{К}$\sim$1 в разомкнутом кольце ОАГ ВОЛЗ, приводят к идеализированному случаю, мало встречающемуся на практике. В реальных схемах ОАГ ВОЛЗ -- уровень запаса по самовозбуждению $\deltaup$ может быть сравним с 1 и превышать ее в 1,5-2 раза. Ограничения на \textit{$\delta$} не позволяют применить аппарат укороченных дифференциальных уравнений (УДУ) для исследования динамических режимов ОАГ ВОЛЗ и ОАГ СВОЛЗ, работающих с \textit{$\delta$} соизмеримыми и большими единицы, то есть в режимах близких к реальным. Получение уравнений ОАГ СВОЛЗ, позволяющих снять ограничения на величину \textit{$\delta$} и вместе с ней на полосу возможных колебаний АГ \textit{$\mathit{\Delta}$f${}_{п}$}, является необходимой задачей. Решение данной задачи позволяет анализировать динамические режимы ОАГ СВОЛЗ и корректно изучать свойства и факторы, влияющие на перестройку частоты ОАГ ВОЛЗ и ОАГ СВОЛЗ в большом частотном диапазоне. Общая методика вывода уравнений для ОАГ СВОЛЗ аналогична выводу таких же уравнений для автономного автогенератора с запаздывающей обратной связью (ЗОС) на основе линии задержки на поверхностных акустических волн (АГ с ПАВ). В данном разделе получены уравнения автономного ОАГ с дифференциальной СВОЛЗ. Автогенератор ОАГ СВОЛЗ с радиочастотным фильтром в цепи обратной связи (ОС) можно представить в виде эквивалентной схемы, приведенной на рис.2.3. Пользуясь методикой, разработанной в работах [19-25,40,41 ] для получения уравнений условно разделим ОАГ на линейную и нелинейную части, и введем две Y-матрицы, характеризующие линейную часть АГ и матрицу последовательно соединенных ВОЛЗ и РФ. К первой матрице \textit{$Y_{1} \left(j\omega \right)$ }отнесем линейную часть ОАГ СВОЛЗ, образованную четырехполюсником, состоящим из активного элемента АЭ, и его возможных цепей согласования (ЦС). Ко второй матрице \textit{$Y_{2} \left(j\omega \right)$} отнесем линейную часть, образованную четырехполюсником, состоящим из последовательно соединенных ВОЛЗ и радиочастотного фильтра. А где же тогда нелинейность системы на рис. 2.3 В предположении отсутствия обратного прохождения электрического сигнала с выхода на вход активного элемента АЭ эта (какая?) матрица может быть записана в виде (почему здесь указана зависимость от частоты только двух компонентов?) \begin{equation} \label{GrindEQ__2_24_} Y_{1} \left(j\omega \right)=\left|\begin{array}{cc} {\bar{g}_{1} \left(\omega \right)} & {0} \\ {\bar{\alpha }} & {\bar{g}_{2} \left(\omega \right)} \end{array}\right| \end{equation} \includegraphics*[width=6.28in, height=4.46in, keepaspectratio=false]{image3} \noindent Рис.2.3. Эквивалентная схема автогенератора ОАГ ВОЛЗ. \noindent где $\bar{g}_{i} =g_{i} +jb_{i} \left(\omega \right);$$g_{i} \left(\omega \right),$$b_{i} \left(\omega \right)$ - активные и реактивные составляющие собственных проводимостей первого четырехполюсника \textit{i}=1,2 - номера входов ОАГ на рис. 2.3., $\alphaup$? - комплексная крутизна выходного тока линейной части АЭ. В чем физика введенных параметров? В общем случае нелинейные свойства АЭ характеризуются нелинейными источниками токов $i_{1}^{n} \left(u_{1} ,u_{2} \right)$ и $i_{2}^{n} \left(u_{1} ,u_{2} \right)$. Такое представление АЭ справедливо при его работе в недонапряженном режиме, наиболее часто встречающемся у разрабатываемых АГ стабильных колебаний. Предположение об отсутствии обратного прохождения электрического сигнала с выхода на вход АЭ, т.е. \textit{Y}${}^{12}$${}_{1}$= 0 в \eqref{GrindEQ__2_24_} формуле нет никакого Y${}^{12}$, упрощает модель АЭ, но при этом сохраняются основные (что значит это слово? Где доказательство утверждения) нелинейные свойства АЭ, позволяющие решать поставленные в работе задачи. Вторая Y-матрица описывает четырехполюсник ОС, являющийся собственно составной ВОЛЗ. В общем виде для случая отсутствии обратного прохождения электрического сигнала Y-матрица одиночной ВОЛЗ записывается в виде: \begin{equation} \label{GrindEQ__2_25_} Y_{2} \left(j,\omega \right)=\left|\begin{array}{cc} {G_{1} \left(j\omega \right)} & {\Gamma \left(\omega \right)\cdot 5^{-j\omega T_{BC} } } \\ {0} & {\bar{G}_{2} \left(j\omega \right)} \end{array}\right| \end{equation} \noindent где $\bar{G}_{i} =G_{i} +jB_{i} \left(\omega \right);$$G_{i} \left(\omega \right),$$B_{i} \left(\omega \right)$ - активная и реактивная составляющие собственных проводимостей ВОЛЗ, $\Gamma \left(\omega \right)=|Y_{2}^{12} \left(j\omega \right)|$ - модуль взаимной проводимости ВОЛЗ, $|Y_{2}^{21} \left(j\omega \right)|=0$( Y${}^{21}$ равен нулю поскольку в ВОЛЗ пренебрегли отраженным сигналом от ФД ), $T_{BC} $ - эффективное время задержки электрического сигнала в ВОЛЗ. Уравнение, описывающее исходную модель ОАГ ВОЛЗ, может быть записано в векторно-матричном виде \[\left[\begin{array}{l} {i_{1}^{H} } \\ {i_{2}^{H} } \end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc} {y_{11} } & {y_{12} } \\ {y_{21} } & {y_{22} } \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} {u_{1}^{} } \\ {u_{2}^{} } \end{array}\right]\] или Это мне странно: уравнение выше есть уравнение усредненное (иначе в чем смысл y${}_{ij}$?)? а уравнение \eqref{GrindEQ__2_26_} вообще какое-то странное: что такое р? Если это уравнение для мгновенных значений, то почему оператор в проводимости Y обозначен не jw, а через р, как обычно обозначается СДВИНУТЫЙоператор? \begin{equation} \label{GrindEQ__2_26_} \vec{i}\left(t\right)=\left[Y\left(p\right)\right]\cdot \vec{u}\left(t\right) \end{equation} \noindent где $\vec{u}(t)=[u_{1}^{} ({\rm t}),u_{2}^{} ({\rm t})]$- вектор с компонентами \textit{U}${}_{1}$(t), \textit{U}${}_{2}$(t), так что же такое вектор u: это мгновенная функция времени или функция амплитуд? $\vec{i}^{} (t)=[i_{1}^{H} (t),i_{2}^{H} (t)]$ - вектор составляющих токов на входе и выходе АЭ, учитывающий нелинейные свойства АЭ, $u_{i} (t)$ и $i_{i}^{H} (t)$- мгновенные значения напряжений и токов на входе и выходе АЭ (рис. 2.3) \textit{i} =1,2. Матрица $\left[Y\left(p\right)\right]$ в \eqref{GrindEQ__2_26_} характеризует линейную часть ОАГ. Ее элементы определяются из следующего равенства: \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_27_} Y_{ij} (p)=Y_{1}^{ij} (p)+Y_{2}^{ij} (p), \end{equation} \noindent или $Y_{11} =Y_{1}^{11} +Y_{2}^{11} ,Y_{12} =Y_{1}^{12} +Y_{2}^{12} ,Y_{21} =Y_{1}^{21} +Y_{2}^{21} ,Y_{22} =Y_{1}^{22} +Y_{2}^{22} $, где \textit{i,j} = 1,2 , \textit{р= d/dt} - дифференциальный оператор. Частоты \textit{$\omega$${}_{k}$} вблизи, которых возможны автоколебания, находятся из соотношения $p_{k} =\delta _{k} +j\omega _{k} $. Непоняытно: р это оператор или частота?Комплексные величины \textit{р}${}_{к}$ являются корнями уравнения \eqref{GrindEQ__2_26_}, решенного при $i^{H} (t)=0$, то есть без учета нелинейных свойств АЭ. Мне кажется, что здесь надо говорить не о решениях уравнения 2.26? а о корнях характеристического уравнения, вытекающего из 2.26 после линеаризации! Количество найденных корней \textit{р} определяется порядком исследуемой системы. Это неправильно: количество характеристических корней на единицу меньше порядка исходной системы. Известно [25], что для автоколебательной системы с ЗОС количество таких корней, а значит и частот возможных колебаний $\omegaup$${}_{к}$ бесконечно много, т.е. \textit{к}=0,1,2 {\dots}к -- номер моды колебания. В общем случае величина \textit{$\delta$${}_{к}$}${}_{ }$характеризует вид колебательного процесса, который может возникнуть на соответствующей частоте \textit{$\omega$}${}_{к.}$ Если $\delta _{:} \langle $0, то колебательный процесс будет носить затухающий характер из-за потерь в линейной части ОАГ; условие $\delta _{:} =$0 означает, что потери на данной частоте отсутствуют, а при $\delta _{:} \rangle $0 - колебательный процесс будет нарастающим, т.к. этот случай означает, что потери с избытком компенсируются. Выражения для определения собственных частот эквивалентной резонансной системы ОАГ ВОЛЗ \textit{$\omega$}${}_{к}$ и значений крутизны выходного тока линейной части АЭ $\alpha _{:}^{*} $, при которой потери в линейной части ВОЛЗ на этих частотах компенсируются ($\delta _{:} $=0) полностью определяется частотными зависимостями Y- матрицы \eqref{GrindEQ__2_25_}. \noindent \textbf{} \noindent \textbf{} \noindent \textbf{2.4. Анализ укороченных} д\textbf{ифференциальных уравнений автономного ОАГ с дифференциальной ВОЛЗ} На рис.2.3 изображена эквивалентная схема рассматриваемого ОАГ ВОЛЗ. В дифференциальную СВОЛЗ входят: модулированный источник света (МИС) - лазерный диод (ЛД), волоконно-оптическая система (ВОС), фотодиод (ФД), нелинейный электронный усилитель (НУ) и радиочастотный фильтр (РФ) на основе колебательного контура. ВОС представляет собой последовательно соединенные (рис.2.3) устройство оптического согласования (УС1), волоконные световоды ВС${}_{0}$, ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$, устройство распределения световой мощности (УС${}_{2}$), устройство согласования (УС${}_{3}$). Избирательные свойства разомкнутой цепи ОАГ СВОЛЗ определяются радиочастотным фильтром РФ и ВОЛЗ (их общим коэффициентом передачи). Перестройка частоты в таком генераторе происходит, например, при изменении распределения световой мощности, поступающей в ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$ с выхода ВС${}_{0}$. Одним из преимуществ такой схемы является плавная перестройка частоты в широком диапазоне за счет изменений параметров в волоконно-оптическом тракте. Для упрощения анализа пренебрежем отражениями светового сигнала в оптическом тракте. Тогда для элементов матрицы проводимости [\textit{Y}] выполняется условие откуда это условие и в чем его физика? Жуткая путаница с номерами формул? Uklr формулы 2.28-2.35??? \begin{equation} \label{GrindEQ__2_36_} |Y_{11} (j\omega )\cdot Y_{22} (j\omega )|\rangle \rangle |Y_{12} (j\omega )| \end{equation} \noindent которое справедливо для ВОЛЗ, выполненной на кварцевых волоконных световодах и снабженных оптическим вентилем или иммерсионными (что это?) элементами (то есть обеспечивающими ) в устройствам согласования. \noindent В этом случае собственные частоты линейной части рассматриваемого ОАГ ВОЛЗ находятся из уравнения \eqref{GrindEQ__2_33_} где эта формула? при $\vec{i}^{H} (t)=0$. \noindent После сделанных предположений уравнение \eqref{GrindEQ__2_35_} где эта формула? можно записать в виде \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_37_} \{ |Y_{11} \cdot Y_{22} |\exp [j(\Psi _{1} +\Psi _{2} )]-\alpha (\omega )\exp [j(\varphi -\omega T)]\} =0 \end{equation} Здесь в \eqref{GrindEQ__2_37_}$\Psi _{i} (\omega )=arctg[\frac{b_{i} (\omega )+B_{i} (\omega )}{g_{i} (\omega )+G_{i} (\omega )} ]$ и \textit{i}=1,2 - фазовый сдвиг на 1-м и 2-м входах линейной резонансной системы, определяемые на частотах \textit{$\omega _{k} $} , \textit{к}=0, 1 , 2{\dots} - номер моды колебаний. Отсюда у перестал править опечатки -- устал и просто отмечаю места, требующие редактирования! Уравнение \eqref{GrindEQ__2_37_} определяет вид собственных частот вблизи, которых возможны колебания \noindent $\omega _{k} =(\varphi -\Psi _{01} -\Psi _{02} +2\pi k)/T$ что такое фи? \eqref{GrindEQ__2_38_} А также значение крутизны выходного тока $\alpha _{k}^{*} $ линейной части АЭ, при которых потери в линейной части ОАГ ВОЛЗ полностью на этих частотах компенсируются $|\delta _{k} =0|$ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_39_} \alpha _{k}^{*} =\frac{|Y_{11} Y_{22} |}{\Gamma \left(\omega \right)} |_{\omega =\omega _{k} } =\frac{\sqrt{[(g_{1} +G_{1} )^{2} +(b_{1} +B_{1} )^{2} ]\cdot [(g_{2} +G_{2} )^{2} +(b_{2} +B_{2} )^{2} } }{\Gamma \left(\omega \right)} \end{equation} Отметим, что значения величин, входящих в уравнения (2.14-2.16), вычисляются на частотах \textit{$\omega _{k} $}, где \textit{к}=0,1,2 - номер моды колебаний ОАГ ВОЛЗ. Собственные частоты \textit{$\omega$}${}_{к}$, найденные из уравнения \eqref{GrindEQ__2_16_}, располагаются эквидистантно, если зависимость фазовых сдвигов от частоты не учитывается. Чем больше величина задержки, тем меньше расстояние между модами с номерами \textit{ к } и \textit{к+1} или \textit{(к - 1}). При этом величины модуля управляющего сопротивления \textit{R }на частотах \textit{$\omega$}${}_{k}$, расположенных в пределах главного лепестка совместной АЧХ фильтра и ВОЛЗ, значительно зависят от вида частотной характеристики ВОЛЗ. Необоснованные рассуждения? Вышеперечисленные особенности ВОЛЗ позволяют упростить выражение для символического управляющего сопротивления ОАГ ВОЛЗ в уравнении \eqref{GrindEQ__2_37_}. Они означают, что основные частотные свойства управляющего сопротивления $Z(j\omega )=R(j\omega )\exp (j\omega T)$ что такое T? определяются взаимной проводимостью $Y_{2}^{12} (j\omega )=\left(\omega \right)\exp (-j\omega T)$фильтра, образованного ВОЛЗ и электронным контуром. Что это такое? Тогда с учетом выражения \eqref{GrindEQ__2_17_} получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_40_} Z\left(P\right)=Z(j\omega )=R_{0} \Gamma _{H}^{^{-1} } (\omega )\exp [-j(\omega T+\Psi _{01} +\Psi _{02} )] \end{equation} \noindent где $R_{0} =1/\alpha _{0}^{*} $ - значение модуля управляющего сопротивления ОАГ ВОЛЗ на частоте $\omegaup$${}_{0}$, $\Gamma _{H}^{} (\omega )=\Gamma \left(\omega \right)/\Gamma \left(\omega _{0} \right)$ - нормированное значение модуля взаимной проводимости ВОЛЗ и фильтра, которое в конечном итоге определит вид дифференциальных операторов \textit{P}, \textit{Q}, \textit{G }в уравнении 2.13. Для определения влияния топологии ВОЛЗ на вид функции $\Gamma ^{1} \left(\omega \right)$ в уравнении \eqref{GrindEQ__2_40_}, а значит и на возможность получения аналитических выражений для дифференциальных операторов \textit{P}, \textit{Q}, \textit{G}, входящих в выражение \eqref{GrindEQ__2_35_}, где это уравнение? рассмотрим связь между частотными свойствами ВОЛЗ, и видом функции$\Gamma \left(\omega \right)$. \noindent Взаимная проводимость ВОЛЗ описывается выражением \noindent \[Y_{12} \left(j\omega \right)=\xi \sqrt{G_{a1} \left(\omega \right)G_{a2} (\omega )} e^{-j\omega T} =\xi \Gamma \left(\omega \right)e^{-j\omega T} (2.41) , \] где \textit{$\xi$} - вещественный коэффициент, учитывающий потери в элементах ВОЛЗ, \textit{G}${}_{a}$${}_{1}$(\textit{$\omega$}), \textit{G}${}_{a}$${}_{2}$(\textit{$\omega$}) - активные составляющие проводимостей на входе и выходе ВОЛЗ с радиочастотным фильтром. Вид частотных зависимостей \textit{G${}_{ai}$($\omega$)} определяется частотными характеристиками ЛД, ВОС, ФД и электронного контура. \noindent Для составной ВОС, образованной двумя световодами разной длины, как выведено ранее в работе [ 135], выражение для управляющего сопротивления ОАГ с дифференциальной СВОЛЗ записывается в виде \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_42_} R(j\omega )=\dot{D}(j\omega )\cdot \frac{A\exp [-\alpha _{n} (L_{0} +L_{1} )]\exp [-j\omega \frac{N}{c} (L_{0} +L_{1} )]+B\exp [-\alpha _{n} (L_{0} +L_{2} )]\exp [-j\omega \frac{N}{c} (L_{0} +L_{2} )]}{[1+j\left(\omega -\omega _{F} \right)T_{F} ]} \end{equation} \noindent где $A$ и $B$ - коэффициенты возбуждения световодов ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$, соответственно, равны $A=P_{1} /(P_{1} +P_{2} )$,$B=P_{2} /(P_{1} +P_{2} )$ ;\textit{$P_{1} $,$P_{2} $} - введенные абсолютные значения световых мощностей в световоды ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$, соответственно; $L_{0} $\textit{, }$L_{1} $\textit{,}$L_{2} $- геометрические длины световодов ВС${}_{0}$, ВС${}_{1}$, ВС${}_{2}$, соответственно; $T_{0} $\textit{, }$T_{1} $\textit{,}$T_{2} $ - времена задержек светового сигнала в ВС${}_{0}$, ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$, соответственно, равны $T_{0} =L_{0} \cdot N(\nu )/c$, $T_{1} =L_{1} \cdot N(\nu )/c$\textit{,}$T_{2} =L_{2} \cdot N(\nu )/c$, где $c$-скорость света в свободном пространстве, $\nu $ -оптическая частота,$N(\nu )$ -- показатель преломления световедущей жилы световода, $\dot{D}(j\omega )$ - комплексный коэффициент, определяемый параметрами КЛД и ФД. Вид дифференциальных уравнений с запаздыванием (ДУЗ) при условии безынерционности активного элемента электронного усилителя, линейности модулированного источника света ЛД и фотодетектора ФД, световодов ВОС; распространении в отдельных световодах ВС${}_{0}$, ВС${}_{1}$, ВС${}_{2}$ одной линейно поляризованной световой волны, оптическая частота которой равна $\nuup$${}_{л}$, а также при использовании в качестве фильтра колебательного контура, приводится ниже: \textbf{\textit{$T_{F} \cdot \frac{dU(t)}{dt} =R\cdot [A\cdot S_{1} \cdot U(t-t_{1} )\cos (\Phi _{1} )+B\cdot S_{2} \cdot U(t-t_{2} )\cos (\Phi _{2} )]-U(t)$ }}(2.44А)\textbf{\textit{}} \textbf{\textit{$\begin{array}{l} {T_{F} U(t)\cdot \frac{d\Psi (t)}{dt} =R\cdot [-A\cdot S_{1} \cdot U(t-t_{1} )\sin (\Phi _{1} )+B\cdot S_{2} \cdot U(t-t_{2} )\sin (\Phi _{2} )]+} \\ {+(\omega _{F} -\omega _{0} )\cdot T_{F} \cdot U(t)} \end{array}$ }}(2.44Б)\textbf{\textit{}} \textbf{\textit{Не нравятся мне эти уравнения! Уж больно они простые. Как они выведены? Как проводилось укорачивание?Интуитивно мне кажется, что при ближайшем изучении их не возникнет ничего «докторского»! Это ведь очень простые дифференциальные уравнения первого порчдка малости, из которых выкинуты многие принципиальные и необходимые для практики вещи, например инерционность нелинейного усилителя! }} \noindent где \textit{Ф}${}_{1}$,\textit{Ф}${}_{2}$ -текущие фазовые набеги, $\Phi _{1} =\tau \cdot (\omega _{F} -\omega _{0} )-\Psi (t)+\Psi (t-t_{1} )$\textit{,}$\Phi _{2} =\tau \cdot (\omega _{F} -\omega _{0} )-\Psi (t)+\Psi (t-t_{2} )$\textit{ ,}$t_{1} =T-(T_{1} -T_{2} )/2$\textit{, }$t_{2} =T+(T_{1} -T_{2} )/2$\textit{, }$\tau =(T_{1} -T_{2} )/2$\textit{, }$S_{1} =S(U(t+t_{1} ))$\textit{ ,}$S_{2} =S(U(t-t_{2} ))$\textit{; $\omega _{F} $,$T_{F} $}- собственная частота и постоянная времени радиочастотного контура (фильтра), соответственно; \textit{$\omega _{0} $}- опорная частота колебаний (что это такое с точки зрения укорачивания?; $R$ - модуль управляющего сопротивления на частоте близкой \textit{$\omega _{F} $}равен $R=K_{M} \cdot K_{Y} \cdot K_{F} /(G_{1} \cdot G_{2} )$\textit{;$G_{1} $,$G_{2} $}- входная проводимость КЛД и выходная проводимость фотодиода ФД, соответственно; $K_{M} $, \textit{$K_{Y} $, $K_{F} $} - модули коэффициентов передачи модулируемого источника света, электронного усилителя и модулятора, фотодиода, соответственно; $S$ - средняя крутизна вольт-амперной характеристики активного элемента ЭУ, $S=g_{1} U-g_{2} U^{2} $ , где $g_{1} $, $g_{2} $ - постоянные коэффициенты). Важным является то, что в данных дифференциальных уравнениях \eqref{GrindEQ__2_44_} учтена оптическая частота КЛД \textit{$\nu$}${}_{л}$ модулированного источника света. Это определяет основные отличия ОАГ СВОЛЗ от традиционных автогенераторов. Учет производится в коэффициенте показателя преломления материала \textit{N}($\nuup$${}_{л}$) световедущей жилы световодов, зависящего от оптической частоты \textit{$\nu$}${}_{л}$. Учет в дифференциальных уравнениях \eqref{GrindEQ__2_44_} оптической частоты $\nuup$${}_{л}$позволяет находить решения для амплитуды, фазы и радиочастоты генерации автоколебаний ?${}_{г}$, с одной стороны, при введении в ВОС различных перестраиваемых оптических фильтров, селекторов и элементов. Это так, но больно уж проста исходная модель. Я не чувствую в ней докторского уровня. С другой стороны, учет \textit{$\nu$${}_{л}$(t)} позволяет определять быстрые вариации радиочастоты генерации ОАГ СВОЛЗ при зависимости оптической частоты \textit{$\nu$${}_{л}$(t)} модулируемого источника света от времени, например, по синусоидальному закону. Уравнения ДУЗ ??? \eqref{GrindEQ__2_44_} являются универсальными (слишком смело? Уж больно много принято ограничений. , так как при отсутствии световодов ВС${}_{0}$ и ВС${}_{2 }$- то есть в схеме с одним оптическим волокном реализации ВОЛЗ, наличии двух различных световых задержек \textit{Т}${}_{1 }$и \textit{Т}${}_{2}$, в \eqref{GrindEQ__2_22_} в этом случае учитывает (кто учитывает?)наличие распространения в одном одномодовом оптоволокне двух различно поляризованных световых волн или двух световых волн с разными оптическими частотами \textit{$\nu$}${}_{л1}$ и \textit{$\nu$}${}_{л2}$. Уравнения \eqref{GrindEQ__2_44_} позволяют находить решения для частоты и амплитуды автоколебаний при наличии изменяемых во времени коэффициентов возбуждения A и B. При изменении этих коэффициентов от времени \textit{A=A(t) B=B(t)} можно производить ЧМ модуляцию ОАГ СВОЛЗ. Укороченные уравнение автогенераторов с ЧМ совсем другие! Использовать 2.44 для точного анализа ЧМ принципиально нельзя: можно говорить толькео о квазистатической ЧМ, что существенно загрубляет анализ. Изменение коэффициентов возбуждения на практике может производиться в широком диапазоне частот модуляции (это ошибочно: быстрая ЧМ уравнениями 2.44 не описывается!) от 0 до 1 ГГц, с одной стороны, с помощью перестраиваемых направленных ответвителей Y-типа и X-типа, содержащих электро-оптических или акустооптические ячейки, пьезоэлементы и т.п., с другой стороны, перестройкой оптической частоты $\nuup$${}_{л}$ МИС. Из уравнений \eqref{GrindEQ__2_44_} также следует, что наличие собственной модуляции оптической частоты \textit{$\nu$${}_{л}$(t)} модулируемого источника света приводит к частотной модуляции радиочастотного сигнала генерации. Схема построения ОАГ с дифференциальными ВОЛЗ на базе двух или нескольких ВС может содержать волоконно-оптические ответвители Y- и (или) X -- типов . Как показано в главе 4, АЧХ и ФЧХ этих ВОЛЗ на базе волоконно-оптических ответвителей Y- и X -- типов имеют качественное отличие. При использовании в ОАГ НО Y --типа коэффициенты \textit{А} и \textit{В } могут являться взаимно зависимыми и связанными соотношением \textit{В=1-А}. При использовании в ОАГ СВОЛЗ одномодовых НО Х- типа ,согласно разделу главы 4, коэффициенты \textit{А} и \textit{В} возбуждения будут периодическими и зависимыми от коэффициента оптической связи \textit{$C_{C0} $} : \textbf{$A=\cos ^{2} (C_{C0} \cdot Z)$}\textit{ , }\textbf{$B=\sin ^{2} (C_{C0} \cdot Z)$}где $C_{!0} =C_{1} (1+C_{2} \nu )$ . Уравнения ДУЗ \eqref{GrindEQ__2_44_} являются удобными для анализа ОАГ ВОЛЗ в малосигнальном режиме, они также дают информацию об амплитуде, частоте , фазе генерируемых частотных колебаний в период их установления. Уравнения \eqref{GrindEQ__2_44_} дают возможность найти ДУ ОАГ с ВОЛЗ на базе одиночного оптоволокна : \begin{equation} \label{GrindEQ__2_47_} \left\{\begin{array}{rcl} {T_{F} \cdot \frac{dU(t)}{dt} } & {=} & {D\cdot [A\cdot S_{1} \cdot U(t-t_{1} )\cdot \cos (\Phi _{1} )]-U(t)} \\ {T_{F} \cdot U(t)\cdot \frac{d\Psi }{dt} } & {=} & {D\cdot [A\cdot S_{1} \cdot U(t-t_{1} )\cdot \sin (\Phi _{1} )]{\rm \; }+\left(\omega _{F} -\omega _{0} \right)\cdot T_{F} \cdot U(t)} \end{array}\right. {\rm \; \; \; \; } \end{equation} При малых длинах ОВ задержку в ВОЛЗ считаем малой и поэтому $\cos (\Phi _{1} )=1$и$\sin (\Phi _{1} )=0$. В этом случае уравнения \eqref{GrindEQ__2_47_} преобразуются в укороченные уравнения, по математической форме записи аналогичные традиционным автогенераторам: \begin{equation} \label{GrindEQ__2_48_} \left\{\begin{array}{rcl} {T_{F} \cdot \frac{dU(t)}{dt} } & {=} & {R\cdot [\left|K_{LZ} \right|\cdot S_{1} (U)\cdot U(t)\cdot ]-U(t)} \\ {T_{F} \cdot U(t)\cdot \frac{d\Psi }{dt} } & {=} & {R_{} U(t)[\arg K_{LZ} +{\rm \; }\left(\omega _{F} -\omega _{0} \right)\cdot T_{F} ]\cdot } \end{array}\right. {\rm \; \; \; \; } \end{equation} При этом в \eqref{GrindEQ__2_48_} фазовая задержка в ВОЛЗ определяется аргументом коэффициента передачи ВОЛЗ\textit{ $K_{LZ} $} $\arg K_{LZ} $,а $D$ и\textit{ $R$}-являются постоянными коэффициентами, которые учитывают потери в элементах ВОЛЗ, КЛД и ФД. Из \eqref{GrindEQ__2_48_} находятся выражения для амплитуды и частоты автоколебаний в стационарном режиме. Отметим, что с инерционным АЭ НУ, (т.е. \textit{S${}_{+}$(U) }не равен\textit{ }нулю в\textit{ S(U)=S${}_{II}$(U)+jS${}_{+}$(U)}) ОАГ является неизохронным и частота в стационарном режиме при $dU(t)/dt=0$ и при $d\Psi /dt=0$ зависима от амплитуды автоколебаний: \begin{equation} \label{GrindEQ__2_49_} \omega _{G} \cong \frac{2\pi m+\omega _{F} \cdot T_{F} }{T_{F} +\arg K_{LZ} /\omega _{F} {\rm \; }} +R\frac{S_{{\it }} (U)}{T_{F} +\arg K_{LZ} /\omega _{F} } =\omega _{03} +R\frac{S_{{\it }} (U)}{T_{ef} } , \end{equation} где \textit{$\omega _{03} $} -частота генерации, определяемая первым слагаемым в \eqref{GrindEQ__2_49_}, $T_{ef} $-эффективное время запаздывания в разомкнутой цепи ОАГ $T_{ef} =T_{F} +\arg K_{LZ} /\omega _{F} $. Например, для нелинейной характеристики АЭ $i(u)=S_{01} u-S_{03} u^{3} $ и средней крутизны этой характеристики АЭ НУ $S_{1} (U)=S_{01} -(3/4)S_{03} U^{2} $решение ДУ в стационарном режиме дают приближенное выражение (при условии, что частота генерации близка к собственной частоте РЧ фильтра ) для амплитуды в стационарном режиме \[U=\sqrt{4S_{01} /3S_{03} } \cdot (1-\frac{1}{S_{01} R_{11} \cdot \left|K_{LZ} \right|} )^{1/2} \] где\textit{ $R_{11} $}-постоянный коэффициент, учитывающий потери в элементах ВОЛЗ. Например, для ВОЛЗ, образованной \textit{двумя} оптическими ОВ разной длины, приближенное выражение (при условии, частота генерации близка к собственной частоте РЧ фильтра ) для амплитуды в стационарном режиме \begin{equation} \label{GrindEQ__2_49_} U=\sqrt{\frac{4S_{01} }{3\cdot S_{03} } } \cdot \left(1-\frac{\sqrt{1+T_{F}^{2} \cdot (\omega -\omega _{F} )^{2} } }{R_{11} \cdot S_{01} \cdot K_{L} \sqrt{A^{2} +B^{2} +2\cdot B\cdot A\cdot \cos \omega \, (T_{1} -T_{2} )} } \right)^{{\raise0.7ex\hbox{$ 1 $}\!\mathord{\left/ {\vphantom {1 2}} \right. \kern-\nulldelimiterspace}\!\lower0.7ex\hbox{$ 2 $}} } \end{equation} Изложенная здесь теория справедлива при условии, что поступающее на ФД модулированное током накачки \textit{спонтанное излучение} лазера крайне мало, и генерации ОАГ за счет спонтанного излучения не наступает из-за невыполнения условий баланса амплитуд. Это ограничение противоречит тому. Что уравнения являются укророченными и описывают в первом приближении все режимы! \noindent \textbf{2.5. Анализ переходных процессов в ОАГ ВОЛЗ } \noindent \textbf{Я нем понял, зачем включен то раздел? Ведь никаких новых результатов фактически в нем не содержится. } При построении ОАГ СВОЛЗ требуется знать не только время установления колебаний для оценки быстродействия ФП ???, но понимать общую динамическую картину формирования колебаний: как развиваются процессы установления частоты, амплитуды и фазы сигналы. В кандидатской диссертации Борцова А.А. [140] на основе укороченных дифференциальных уравнений для ОАГ СВОЛЗ \eqref{GrindEQ__2_44_} проанализирована зависимости установления частоты, фазы и амплитуды сигнала генерации ОАГ при изменении параметров влияния -- коэффициентов возбуждения каналов СВОЛЗ. При этом СВОЛЗ образована двумя параллельными световодами ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2 }$разной длины. Система указанных уравнений \eqref{GrindEQ__2_44_} была решена с помощью операционной матсистемы с применением метода Эйлера 2-порядка. Импульс начальных условий задавался на отрезке [-\textit{t}${}_{n}$, 0]. Амплитуда импульса начальных условий составляет \textit{U}${}_{нач}$, а частота - \textit{f}${}_{нач}$. Анализ расчетных зависимостей амплитуды и частоты показал, что для устойчивой работы ОАГ СВОЛЗ необходимо выполнение условия: \textit{Т}${}_{ф}$$>$ \textit{Т${}_{2}$ -- Т${}_{1}$} , где \textit{Т}${}_{ф}$ -- постоянная времени радиофильтра, \textit{Т}${}_{2}$ , \textit{Т}${}_{1}$ -- задержки во световодах ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2 }$соответственно. Был рассмотрен одночастотный режим генерации ОАГ СВОЛЗ при изменении коэффициента возбуждения световода ВС${}_{1 }$А, при этом коэффициент возбуждения световода ВС${}_{2 }$был равен \textit{В }=1-\textit{А} для различных значениях запаса по самовозбуждению \textit{$\delta$ }(или \textit{S${}_{del}$}). Характер зависимостей \textit{f}(t)и \textit{U}(t) , а время установления колебаний Ту существенно зависит от запаса по самовозбуждению $\deltaup$ . Время установления Т${}_{у }$для ОАГ СВОЛЗ составляет примерно \textit{Т}${}_{у}$= (4-10 )( А\textit{Т}${}_{1}$+В\textit{Т}${}_{2}$) . Был произведен также на основании \eqref{GrindEQ__2_44_} анализ влияния на характер переходных процессов оптической частоты лазера при быстрых ее изменениях. В результате данного исследования был сделан вывод , что быстрые модуляции оптической частоты КЛД приводят к модуляции амплитуды и частоты радиочастотных колебаний . При скачкообразном изменении оптической частоты КЛД время установления автоколебаний в ОАГ с дифференциальной СВОЛЗ зависит от коэффициентов возбуждения А и В световодов ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2 }$ , собственной частоты фильтра ОАГ. Было определено, что характер установления автоколебаний при этом аналогичен динамике установления автоколебаний при модуляции собственной частоты радиочастотного фильтра РФ. К чему этот исторический экскурс? Интересной особенностью обладает динамика переходных процессов ОАГ ВОЛЗ при изменении коэффициента возбуждения световода ВС${}_{1}$ - А. На рис. 2.5 представлены графики установления частоты \textit{f} и амплитуды \textit{U} сигнала генерации при малых параметрах коэффициента возбуждения \textit{А }= [0,4; 0,3; 0,2] при этом \textit{В} = 1 -- \textit{А}, а \textit{S}${}_{del}$ = 0,5. Динамика переходных процессов сложна и многообразна. Главными определяющими факторами , влияющими на процесс формирования колебаний являются: 1) величина запаса по самовозбуждению \textit{$\delta$}= \textit{S${}_{del}$}, 2) соотношение разницы времен задержки в световодах (каналах) к постоянной времени радиофильтра (\textit{T}${}_{2}$-\textit{T}${}_{1}$)/\textit{T}${}_{ф}$ и 3) коэффициентs возбуждения световодов ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2 }$\textit{А} = \textit{av} и \textit{В}=1 -- \textit{А}. Изменения коэффициентов возбуждения А и В приводит к изменению характера переходного процесса, изменению времени установления колебаний , а также к срыву колебаний. \includegraphics*[width=6.10in, height=3.78in, keepaspectratio=false]{image4} \noindent Рис. 2.5. Переходные процессы амплитуды \textit{U(t)} (а) и частоты \textit{$\mathop{\Psi }\limits^{\bullet } $( t )} (б) генерации ОАГ СВОЛЗ для разных значений коэффициента возбуждения световодов \textit{A}= 0,4; 0,5; 0,6; 0,7; 0,8. Время t нормированное и безразмерное. Расстройка \textit{$\theta$} = 0,03. Запас по самовозбуждению \textit{$\delta$} = 0,5.\textbf{} \textbf{2.6. Анализ управления частотой сигнала генерации ОАГ с дифференциальной ВОЛЗ в стационарном режиме} Зависимости для частоты и амплитуды сигнала от параметров ВОС в стационарном режиме получим из уравнения баланса фаз и амплитуд (2.).Будем считать, что коэффициенты передачи для КЛД, ВОС, ФД, РФ , У и нелинейная характеристика активного элемента (АУ) усилителя У известны. На основании уравнений \eqref{GrindEQ__2_22_} и учитывая произведенный анализ, получим приближенные выражения для частоты и амплитуды сигнала генерации ОАГ с СВОЛЗ и проанализируем зависимости для частоты и амплитуды сигнала генерации при решении уравнений баланса фаз и амплитуд. Рассмотрим уравнение для стационарного режима ОАГ СВОЛЗ, построенной на базе дифференциальной ВОС на основе двух световодов разной длины (рис.2.2). Из уравнения \eqref{GrindEQ__2_22_} вытекает условие баланса амплитуд и фаз для ОАГ СВОЛЗ. В выражении \eqref{GrindEQ__1_49_} учтено ,что задержка в ВС${}_{0 }$равна нулю , разность задержек в световодах ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$ \textit{$\tau$${}_{1}$ = Т${}_{1}$ $-$ Т${}_{2}$} ,а средняя задержка в ВОС , образованной световодами ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$ \textit{Т=T${}_{вс}$ = (T${}_{1}$+T${}_{2}$)}/2. Тогда задержки в световодах ВС${}_{1}$ равняется \textit{Т${}_{1}$= T- $\tau$${}_{1}$/2} и ВС${}_{2}$ , соответственно \textit{Т${}_{2}$=T+ $\tau$${}_{1}$/2 .} Будем считать, что, в общем случае, комплексный и зависящий от частоты коэффициент D${}_{у}$ является действительным и постоянным, то есть независимым от частоты во всем рассматриваемом диапазоне частот и \textit{D${}_{у}$ = R${}_{у1}$}. \noindent \includegraphics*[width=3.56in, height=3.07in, keepaspectratio=false]{image5} \noindent Рис.2.7. Графический метод определения частоты и амплитуды колебаний генерации ОАГ с прямой модуляцией в стационарном режиме. Рисунки слишком мелки Тогда из \eqref{GrindEQ__2_49_} получим выражение для амплитуды U сигнала генерации ОАГ с дифференциальной СВОЛЗ: \includegraphics*[width=4.19in, height=0.69in, keepaspectratio=false]{image6}\includegraphics*[width=4.19in, height=0.69in, keepaspectratio=false]{image7} \eqref{GrindEQ__2_50_} \noindent \includegraphics*[width=2.08in, height=3.24in, keepaspectratio=false]{image8}\includegraphics*[width=2.44in, height=3.34in, keepaspectratio=false, trim=0.00in 0.51in 0.26in 0.00in]{image9} \noindent а) б) \noindent Рис.2.8. Расчетные зависимости модуля и аргумента АЧХ и ФЧХ дифференциальной составной волоконно-оптической линии задержки с (СВОЛЗ) (а) от значения разности фаз в каналах ВОЛЗ (схема рис.2.1б) ОК2 и ОК1 со световодами разной длины \textit{L}${}_{1 }$и \textit{L}${}_{2}$ , время задержки колебаний в которых равняется соответственно \textit{T}${}_{1}$ и \textit{T}${}_{2}$. АЧХ и ФЧХ даны для разных значений коэффициента возбуждения А=$\alpha$ при В=1-А. Расчетные зависимости относительных отклонений частоты генерации ОАГ с СВОЛЗ $(f-f_{0} )/f_{0} $ от коэффициента возбуждения А=$\alpha$ для разных значений отношения постоянной времени РЧ фильтра к разнице (\textit{T}${}_{1}$ - \textit{T}${}_{2}$ ) ( б). \noindent Также из уравнения баланса фаз \eqref{GrindEQ__2_48_}, получим уравнение для частоты генерации ОАГ с дифференциальной СВОЛЗ: \noindent \includegraphics*[width=5.73in, height=0.56in, keepaspectratio=false]{image10}\includegraphics*[width=5.73in, height=0.56in, keepaspectratio=false]{image11} \noindent \eqref{GrindEQ__2_51_} Введем следующие обозначения для разности между временами задержек\includegraphics*[width=0.12in, height=0.24in, keepaspectratio=false]{image12}\includegraphics*[width=0.12in, height=0.24in, keepaspectratio=false]{image13} в световодах \textit{$\tau$${}_{1}$ = Т${}_{1}$ $-$ Т${}_{2}$} и средней задержки в ВОС \textit{Т=T${}_{вс}$} и получим уравнения для частоты и амплитуды сигнала генерации ОАГ в следующем виде \includegraphics*[width=5.15in, height=1.47in, keepaspectratio=false]{image14}\includegraphics*[width=5.15in, height=1.47in, keepaspectratio=false]{image15} \noindent \eqref{GrindEQ__2_52_} Из \eqref{GrindEQ__2_52_} видно, что при А = В, (т.е. при равной световой мощности, поступающей в каналы) уравнение для баланса фаз преобразуется к виду: $\mathrm{-}$ \textit{$\omega$Т} -- arctg (\textit{$\omega$ $-$ $\omega$${}_{ф}$})\textit{T${}_{ф}$-}$arctg\; \left\{\left(\omega \right)\cdot T_{;} \right\}$= 2$\piup$m \eqref{GrindEQ__2_53_} \noindent Приближенное выражение для частоты генерации ОАГ $\omegaup$ = $\omegaup$${}_{г:}$ можно вывести из \eqref{GrindEQ__2_53_} и представить в виде \noindent \includegraphics*[width=1.35in, height=0.47in, keepaspectratio=false]{image16}\includegraphics*[width=1.35in, height=0.47in, keepaspectratio=false]{image17} \eqref{GrindEQ__2_54_} При величине приблизительно, но не точно равной коэффициентам возбуждения А $\mathrm{\approx}$ В , можно вывести приближенную формулу для расчета частоты генерации ОАГ: в чем ее приближенность? \begin{equation} \label{GrindEQ__2_55_} \omega _{G} \cong \frac{2\pi m+\omega _{F} \cdot T_{F} }{A\cdot T_{1} +B\cdot T_{2} +T_{L} +T_{F} } \end{equation} \noindent Учитывая в \eqref{GrindEQ__2_55_} ,что\textbf{$T_{1} =T-\frac{{\rm \tau }_{1} }{2} ,\quad 8\quad T_{2} =T+\frac{{\rm \tau }_{2} }{2} ;\quad {\rm \tau }_{1} =\frac{T_{2} -T_{1} }{2} =\frac{\Delta T}{2} $} \noindent выражение для частоты генерации ОАГ из \eqref{GrindEQ__2_55_} получим в виде \begin{equation} \label{GrindEQ__2_56_} \omega _{G} \cong \frac{2\pi m+\omega _{F} \cdot T_{F} }{A\cdot (T-\frac{{\rm \tau }_{1} }{2} )+B\cdot (T+\frac{{\rm \tau }_{2} }{2} )+T_{L} +T_{F} } =\frac{2\pi m+\omega _{F} \cdot T_{F} }{T\cdot (A+B)+\frac{{\rm \tau }_{1} }{2} \cdot (B-A)+T_{L} +T_{F} } \end{equation} \noindent \includegraphics*[width=0.12in, height=0.24in, keepaspectratio=false]{image18}\includegraphics*[width=0.12in, height=0.24in, keepaspectratio=false]{image19}Таким образом, получено приближенное выражение \eqref{GrindEQ__2_56_} для частоты генерации ОАГ с дифференциальной ВОЛЗ на базе двух волокон разной длины. Частота генерации ОАГ ВОЛЗ зависит от разницы величин световых мощностей на выходах каналов ВС${}_{1}$ и ВС${}_{2}$, соответственно. Что практически следует из 2.56? \noindent \textbf{} \noindent \textbf{2.7 . Полуклассические уравнения колебаний поля в резонаторе лазера КЛД и уравнения для ОАГ} Для доказательства утверждения, сделанного в начале главы 2 , что упрощенная математическая модель ОАГ описывается системой из двух уравнений \eqref{GrindEQ__2_1_} и \eqref{GrindEQ__2_2_}, рассмотрим схему ОАГ с прямой модуляцией лазера КЛД , представленную на рис.2.9. Анализ этой схемы произведем , используя для описания лазера КЛД полуклассическую теорию (упоминание в главе 1), то есть представление о распространяющихся внутри оптического резонатора колебаний с помощью уравнений Максвелла, а описание свойств активного элемента лазера КЛД - с помощью матрицы плотности или поляризации среды. На рис.2.10. представлена схема замещения ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера. В этой схеме показано, что ток накачки, имеющий постоянную и переменную составляющие воздействует на активную среду КЛД ( в схеме активная среда КЛД представлена в виде блока оптический усилитель с коэффициентом передачи \textit{K${}_{OY}$} ). Пусть ключ K1, показанный в схеме рис.2.10, разомкнут. Рассмотрим отдельно работу лазера КЛД. Выведем ДУ для напряженности \textit{E(t)} лазера КЛД. \textit{\includegraphics*[width=4.45in, height=3.18in, keepaspectratio=false]{image20} } Рис.2.9. Структурная схема ОЭГ с прямой модуляцией лазерного диода . \textit{ } \noindent \includegraphics*[width=6.47in, height=3.72in, keepaspectratio=false]{image21} \noindent Рис.2.10. Схема замещения ОЭГ с прямой модуляцией тока накачки лазера . \noindent Рассмотрим \textit{одночастотный} режим генерации лазера КЛД. При этом рассмотрим режим бегущей волны в резонаторе (анализ режима стоячей волны в резонаторе КЛД с плоскими зеркалами аналогичен). В полупроводниковых КЛД геометрическая длина резонатора намного больше длины волны генерируемого оптического излучения, частота генерации близка к собственной частоте оптического резонатора. Используя полуклассическое представление, из уравнений Максвелла для «двухуровневой схемы » авторами [163,164] в дипольном приближении , для «малых возмущений» получена система из трех уравнений для напряженности электромагнитного поля ( ЭМП), для поляризация активного материала лазера КЛД и разницы населенностей между возбужденным и невозбужденным уровнями. В этих предположениях исходная система уравнений для одночастотного режима генерации лазера и однородного заполнения пространства имеет вид \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_1_} {\rm \; }\frac{d^{2} E_{n} }{dt^{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{d^{} E_{n} }{dt} {\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} E_{n} {\rm =}-T_{0F} \frac{2\omega ^{2} P_{n} }{\varepsilon _{n} } , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_2_} {\rm \; }\frac{d^{2} P_{n} }{dt^{2} } +\frac{{\rm 1}}{T_{2} } \frac{d^{} P_{n} }{dt} {\rm +(2}\pi \nu _{12} {\rm )}^{2} P_{n} {\rm =}\frac{p_{e}^{2} }{\hbar } NE_{n} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_3_} {\rm \; }\frac{d^{} N}{dt} {\rm =}\alpha _{N0} -\frac{N}{T_{1} } -\frac{1}{\hbar } P_{n} E_{} , \end{equation} где $E_{n} $ - напряженность ЭМП,$Q_{n} $ -добротность оптического резонатора ,$\nu _{0n} $ -собственная оптическая частота резонатора,$\varepsilon _{n} $ -электрическая постоянная ,$P_{n} $ -поляризация активного материала ,$N$ - разница населенностей между возбужденным и невозбужденным уровнями, $N_{0} $- разница населенностей между возбужденным и невозбужденным уровнями , создаваемая накачкой,$T_{2} $-постоянная времени поляризации,$T_{1} $ -время жизни возбужденных частиц на верхнем энергетическом уровне , $T_{0F} $ -постоянная времени оптического резонатора ,накачка $\alpha _{N0} =N_{0} /T_{1} $,$p_{e}^{} $ - дипольный момент,$\hbar $ -постоянная Планка, $\nu _{0n} $ - собственная частота оптического резонатора КЛД лазера на конкретной \textit{n}-ой продольной моде, $\nu _{12} $ -оптическая частота перехода. Эти уравнения могут быть далее дополнены источниками шума, учитывающими шум спонтанного излучения КЛД и шум носителей активной среды . Точное аналитическое решение данной системы затруднительно. \noindent Сделаем преобразование Лапласа $d^{2} E_{n} /dt^{2} =p^{2} =(j\omega )^{2} =(j{\rm 2}\pi \nu -j{\rm 2}\pi \nu _{0n} )^{2} $и $dE_{n} /dt=p^{} =(j\omega )=(j{\rm 2}\pi \nu -j{\rm 2}\pi \nu _{0n} )$,$\nu _{0n} =\nu _{0} $ , где $\nu $- частота генерации лазера КЛД. Перейдем в операторный вид, введем постоянные коэффициенты $A_{NE1} =2/\varepsilon _{n} $ и$B_{NE1} =p_{e}^{2} /\hbar $ тогда получим из \eqref{GrindEQ__2_3_1_} -\eqref{GrindEQ__2_3_3_} следующую систему уравнений \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_4_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )E_{n} {\rm =}-T_{0F} \omega ^{2} A_{NE1} P_{n} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_5_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +(}1/T_{2} )p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )P_{n} {\rm =}-B_{NE1} NE_{n} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_6_} {\rm \; }pN{\rm =}\alpha _{N0} -(1/T_{1} )N-(1/\hbar )\cdot P_{n} E_{n} , \end{equation} \noindent Подставляя выражение в первое уравнение ${\rm \; }P_{n} {\rm =}-B_{NE1} NE_{n} {\rm (}p^{2} {\rm +(}1/T_{2} )p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} $ , полученное из \eqref{GrindEQ__2_3_5_}, а во второе уравнение с учетом ,что населенность --медленная функция по времени и $T_{1} >>T_{2} $ , в \eqref{GrindEQ__2_3_4_} получаем систему из двух уравнений для лазера КЛД \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0F} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )E_{n} {\rm =}T_{0F} \omega ^{2} A_{NE1} B_{NE1} NE_{n} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }pN{\rm =}\alpha _{N0} -(1/T_{1} )N-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{-2} NE_{n} E_{n} , \end{equation} Данные символические уравнения по математической записи схожи во многом с уравнениями для транзисторного двухконтурного АГ с автосмещением, некоторые виды которых подробно рассмотрены Смольским С.М. в работе [ ]. Точное решения данной системы уравнений возможно компьютерными методами, а укороченные уравнения системы рассмотрены в главе 5 настоящей работы. \noindent С целью получения из двух уравнений одно уравнение для лазера КЛД, наглядно поясняющего физический смысл, подвергнем процедуре укорочения данную систему двух уравнения. Отметим, что населенность является медленной функцией по отношению к $E_{n} =E_{0L} \cos ({\rm 2}\pi \nu _{00} t+\varphi _{0L} )$ к $E_{0L} $ к $\nu _{00} $ к $\varphi _{0L} $ к. \noindent Рассмотрим второе уравнение вблизи частоты генерации лазера КЛД $\omega _{00} $, учтем ,что $T_{1} >>T_{2} $ ,амплитуда накачки $\alpha _{12} =\alpha _{N} T_{1} $ ,коэффициент усиления или $g_{00} =2\tau _{21} \sigma _{21}^{} $ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }N{\rm =}N_{ReL0} {\rm +}jN_{ReL0} {\rm =}\frac{\alpha _{12} }{j(\omega -\omega _{00} )T_{1} +1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} } , \end{equation} Выражение является по математической записи сходной с выражением для коэффициента передачи фильтра нижних частот с постоянной времени равной временем жизни носителей на верхнем рабочем уровне $T_{1} $, при этом инверсная населенность растет с увеличением амплитуды накачки $\alpha _{12} $и убывает с увеличением квадрата амплитуды напряженности поля внутри резонатора лазера$E_{0L} ^{2} $. Отметим, что населенность инерционна по отношению к накачке. \noindent Уравнение \eqref{GrindEQ__2_3_8_} для инверсной населенности $N$ будут разными для разных систем накачки \begin{enumerate} \item 3 --уровневая схема накачки КЛД $T_{1} =\tau _{21} $ \[N=n_{2} -n_{1} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{\tau _{21} j(\omega -\omega _{00} )+\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } \] \item 4 --уровневая схема накачки КЛД $T_{1} =\tau _{32} $ \[{\rm \; }N=n_{3} -n_{2} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{14} }{\tau _{32} j(\omega -\omega _{00} )+\alpha _{14} +(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )E_{L0}^{2} } \] \item ЛД на объемном кристалле(2-х уровневое приближение) $T_{1} =\tau _{21} $ \[N=n_{2} -n_{1} {\rm =}n_{0} \frac{\alpha _{21} }{\tau _{21} j(\omega -\omega _{00} )+1+0,2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } {\rm \; },\] \end{enumerate} \noindent \noindent \textbf{Укороченные уравнения лазера КЛД} \noindent Произведем укорочение первого уравнения около частоты $\omega _{00} $ , которая находится вблизи частоты генерации $\omega _{\Gamma } $, и сделаем допущение, что она близка к собственной частоте оптического фильтра $\omega _{00} \approx \omega _{0F} =2\pi \nu _{0F} $: \noindent \[\begin{array}{l} {{\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1+}jT_{0F} {\rm 2}\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{00} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =}T_{0F} (-\omega _{00} )^{2} A_{NE1} B_{NE1} \frac{\alpha _{12} }{j(\Delta \omega )T_{1} +1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} } E_{L0} } \end{array}\] Здесь оператор дифференцирования $p_{1} =j\Delta \omega $ , а $\Delta \omega =\omega _{00} -\omega _{\Gamma } $ . \noindent \textit{Смысл} полученного выражения с точки зрения теории колебаний в следующем. Данное ДУ второго порядка совпадает по математической формуле с ДУ \textit{для лампового или транзисторного традиционного АГ с двумя контурами}, включенными в цепь обратной связи, с соответственно с постоянными времени $T_{2} $ и $T_{0F} $ , собственными частотами фильтров $\nu _{0n} $, $\nu _{12} $ . Коэффициент $A_{NE1} B_{NE1} =2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar )$, стоящий в правой части ДУ , прямо пропорционален квадрату дипольного момента $p_{e}^{2} $ или (поперечному сечению активного элемента) вместе с накачкой $\alpha _{12} $ играет роль возбуждающей силы. После выполнения \textbf{операции усреднения} по всем единичным диполям в некотором объеме $G_{0} =\left\langle 2(-\omega _{00} )^{2} p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar )\right\rangle =\sigma _{21} $.$\sigma _{21} $ - поперечник. Вводим обозначение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} S_{NY} R_{Y} =T_{0F} G_{0} \alpha _{21} (j(\Delta \omega )T_{1} +1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} )^{-1} , \end{equation} которое имеет смысл произведения $S_{NY} R_{Y} $ нелинейной колебательной характеристики лазера$S_{NY} $, которая определяется схемой накачки, умноженной на управляющее сопротивление $R_{Y} $ . Нелинейная инерционная зависимость $S_{NY} $определяет специфику данного ДУ. Последнее ДУ перепишем в компактной форме, введя для упрощения записи обозначения в \eqref{GrindEQ__2_3_7_} в \eqref{GrindEQ__2_3_8_} ${\rm Q}_{F} {\rm (}p_{1} {\rm )=(}p_{1} T_{0F} {\rm +1+}jT_{0F} {\rm 2}\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} ))$, ${\rm Q}_{P} {\rm (}p_{1} {\rm )=(}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{00} -\nu _{12} ))$получаем уравнение: \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_9_} {\rm \; }p_{1} {\rm Q}_{F} {\rm (}p_{1} {\rm )Q}_{P} {\rm (}p_{1} {\rm )}E_{n} {\rm =}S_{0NY} R_{Y} E_{n} \end{equation} \textit{Таким образом, показано, что сложная система из трех уравнений сводиться к относительно простому ДУ для двухконтурного генератора, многократно решаемого в частных задачах теории колебаний. Спецификой данного уравнения является }\textbf{\textit{инерционная нелинейность}} $S_{0NY} $\textit{, которая определяется инерционностью населенности по отношению к возбуждающей силе --накачке и зависит от схемы накачки, и для лазеров(в том числе КЛД) с распределенной двухуровневой системой накачки, трех и четырех уровневыми системами накачки является разной.} \noindent \textbf{Уравнения для главы5 и главы 6. Узкополосный оптический фильтра в КЛД} \noindent Получаем систему из двух уравнений для медленно меняющихся амплитуд $E_{L0} =E_{L00} \exp (j\Phi _{L} )$лазера КЛД \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1+}jT_{0F} 2\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{00} -\nu _{12} ))E_{L0} {\rm =}T_{0F} G_{0} N_{L0} E_{L0} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }\frac{dN_{0L} }{dt} {\rm =}\alpha _{21} -(1/T_{1} )N_{0L} -G_{0} N_{0L} \cdot E_{0L}^{2} , \end{equation} Здесь $E_{L00} $ - стационарная амплитуда напряженности э-м поля,$\Phi _{L} $- фазовый сдвиг или стационарная разность фаз между автоколебанием с частотой , которая может быть постоянной или линейной функцией времени $t$: \[\Phi _{L} =\varphi _{L} =\Delta \omega t+\Phi _{L0} .\] Частным случаем является система уравнений лазера КЛД для случая \textbf{узкополосного оптического фильтра}, например, с решеткой Брега или DBF . При этом $T_{1} >>T_{2} $и первое уравнение системы принимает вид \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1+}jT_{0F} \pi (\nu _{00} -\nu _{0F} ))E_{L0} {\rm =}T_{0F} G_{0} N_{L0} E_{L0} , \end{equation} При этом оператор $p_{1} =d/dt$,а . \noindent При этом получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm (}T_{0F} \frac{dE_{L00} \exp (j\Phi _{L} )}{dt} {\rm +}E_{L00} {\rm +}jT_{0F} \pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )E_{L00} \exp (j\Phi _{L} )){\rm =}T_{0F} G_{0} N_{L0} E_{L00} \exp (j\Phi _{L} ), \end{equation} При этом получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \begin{array}{l} {{\rm (}T_{0F} [\exp (j\Phi _{L} )\frac{dE_{L00} }{dt} +E_{L00} j\exp (j\Phi _{L} )\frac{d\Phi _{L} }{dt} {\rm ]+}E_{L00} {\rm +}jT_{0F} \pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )E_{L00} \exp (j\Phi _{L} ))=} \\ {{\rm =}T_{0F} G_{0} N_{L0} E_{L00} \exp (j\Phi _{L} )} \end{array}, \end{equation} При этом получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} T_{0F} \frac{dE_{L00} }{dt} +T_{0F} E_{L00} j\frac{d\Phi _{L} }{dt} {\rm +}E_{L00} {\rm +}jT_{0F} 2\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )E_{L00} {\rm =}T_{0F} G_{0} N_{L0} E_{L00} , \end{equation} При этом получим $N\approx N_{L0} {\rm =}N_{ReL0} {\rm +}jN_{ImL0} $ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} T_{0F} \frac{dE_{L00} }{dt} +E_{L00} {\rm =}T_{0F} G_{0} N_{ReL0} E_{L00} , \end{equation} При этом получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} T_{0F} E_{L00} \frac{d\Phi _{L} }{dt} {\rm +}T_{0F} 2\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )E_{L00} {\rm =}T_{0F} G_{0} N_{ImL0} E_{L00} , \end{equation} и \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }N{\rm =}N_{ReL0} {\rm +}jN_{ReL0} , \end{equation} где \[N_{ReL0} =\frac{\alpha _{12} [1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]}{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } , N_{ImL0} =\frac{\alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]}{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } \] Где $g_{00} $ \noindent \noindent При этом получим систему \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{dE_{L00} }{dt} {\rm =}G_{0} N_{ReL0} E_{L00} -\frac{1}{T_{0F} } E_{L00} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }\frac{dN_{0L} }{dt} {\rm =}\alpha _{21} -(1/T_{1} )N_{0L} -G_{0} N_{0L} \cdot E_{0L}^{2} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{d\Phi _{L} }{dt} {\rm =2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} ){\rm +}G_{0} N_{ImL0} , \end{equation} \noindent Разложение в ряд по параметру $x=E_{0L} ^{2} $ в точке стационарного режима и удержим члены для переменной первой гармонике, введя обозначения \[\frac{x}{(A_{01} +B_{01} x^{2} )} \approx \frac{x}{A_{01} } -\frac{B_{01} ^{} x^{3} }{3A_{01} } \] где $O(x^{5} )$- остаточный член разложения, которым пренебрежем. \noindent \noindent \includegraphics*[width=2.01in, height=1.43in, keepaspectratio=false]{image22}\includegraphics*[width=2.57in, height=1.66in, keepaspectratio=false]{image23}\includegraphics*[width=4.36in, height=2.14in, keepaspectratio=false]{image24} \noindent Учитывая, что для стационарного режима при накачках существенно выше порога выполняется неравенство $[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} <<[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} $о \[\begin{array}{l} {N_{ReL0} E_{L00} =\alpha _{12} [1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]\frac{E_{L00} }{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } \approx } \\ {\approx \alpha _{12} \frac{E_{L00} }{[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]} \approx \alpha _{12} E_{L00} -0,3\alpha _{12} g_{00} (E_{L00} )^{3} } \end{array}, \] Учитывая, что для стационарного режима при накачках выше порога выполняется неравенство$[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} \approx 1$ и можно воспользоваться разло разложением жением \[\frac{x}{(A_{31} +(1+B_{31} x^{2} )^{2} } \approx 0,3\frac{x}{A_{31} } -0,1\frac{B_{31} x^{3} }{A_{31} } \] получим \[\begin{array}{l} {N_{ImL0} E_{L00} =\alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]\frac{E_{L00} }{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } \approx } \\ {\approx \alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]\frac{E_{L00} }{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } \approx } \\ {\approx 0,3(\omega _{00} -\omega )T_{1} \alpha _{12} E_{L00} -0,1(\omega _{00} -\omega )T_{1} \alpha _{12} g_{00} (E_{L00} )^{3} } \end{array}\] Т plot $\{$y=2.9*x/(1+(1+0.3*x$\wedge$2)$\wedge$2), y=x-0.1*x$\wedge$3), [x,0,3] $\}$ \noindent Тогда \noindent При этом получи исходные уравнения для исследований ОЭГ с ПАМ, проведенные в главе 5(частота генерации $\omega _{\Gamma } =\omega $) \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{dE_{L00} }{dt} {\rm =}G_{0} N_{ReL0} E_{L00} -\frac{1}{T_{0F} } E_{L00} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }\frac{dN_{0L} }{dt} {\rm =}\alpha _{21} -(1/T_{1} )N_{0L} -G_{0} N_{0L} \cdot E_{00L}^{2} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{d\Phi _{L} }{dt} {\rm =}({\rm 2}\pi \nu _{0F} -\omega _{00} ){\rm +}0,3\frac{(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} }{T_{0F} } G_{0} \cdot \alpha _{12} -0,1\frac{(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} }{T_{0F} } G_{0} g_{00} \cdot (E_{L00} )^{2} \alpha _{12} , \end{equation} получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} T_{0F} E_{L00} \frac{d\Phi _{L} }{dt} {\rm +}T_{0F} 2\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )E_{L00} {\rm =}T_{0F} G_{0} \alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]\frac{E_{L00} }{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } , \end{equation} \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \begin{tabular}{|p{0.3in}|p{1.8in}|p{2.2in}|p{0.2in}|} \hline & пр & пр & пр \\ \hline Пр3-х\newline КЛД & $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{13} (T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} -1)}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } -\frac{T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} +1}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } $\newline $T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} >>1$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{13} T_{0F} n_{0} }{2\tau _{21} } -\frac{T_{0F} n_{0} }{2\tau _{21} } $\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} n_{0} }{2\tau _{21} } (\alpha _{13} -1)$ & $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} } \frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } $${\rm \; }\frac{n_{2} -n_{1} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} } $\newline $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} } \frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} \frac{T_{0F} n_{0} }{2\tau _{21} } (\alpha _{13} -1)} $$P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} } \frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+\sigma _{21}^{} T_{0F} n_{0} (\alpha _{13} -1)} $\newline \newline $P_{c21} /E_{L0}^{2} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} } \frac{[\alpha _{13} -1]2\tau _{21} }{T_{0F} n_{0} [\alpha _{13} +1+\sigma _{21}^{} T_{0F} n_{0} (\alpha _{13} -1)](\alpha _{13} -1)} $\newline $\begin{array}{l} {P_{c21} /E_{L0}^{2} =} \\ {=\frac{Vh\nu _{21} }{1} \frac{2}{T_{0F} [\alpha _{13} +1+\sigma _{21}^{} T_{0F} n_{0} (\alpha _{13} -1)]} } \end{array}$ & \\ \hline Пр 4-х\newline КЛД & $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} (T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} -1)-1}{\sigma _{32}^{} (2\alpha _{14} \tau _{21} +\tau _{32} )} $\newline $T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} >>1$ и $2\alpha _{14} \tau _{21} <<\tau _{32} $\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} (T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} -1)}{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } -\frac{1}{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } $\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} (10^{-12} 10^{18} 10^{18} -1)}{10^{-9} 10^{18} } -\frac{1}{10^{-9} 10^{18} } $\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} (10^{15} -1)}{1} -\frac{10^{-9} }{1} $\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} T_{0F} n_{0} }{\tau _{32} } -\frac{1}{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } \approx \frac{T_{0F} n_{0} }{\tau _{32} } \alpha _{14} $\newline $\sigma _{32}^{} $=1,6*10${}^{1}$${}^{8}$${}^{ }$$\tau _{32} $=10${}^{-9}$\newline $n_{0} $=10${}^{1}$${}^{8}$${}^{ }$ & $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} } \frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $\newline $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} } \frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +1+\sigma _{32}^{} T_{0F} n_{0} \alpha _{14} } $\newline $\begin{array}{l} {n_{3} -n_{2} {\rm =}} \\ {{\rm =\; }\frac{\alpha _{14} n_{0} }{\tau _{32} j(\omega -\omega _{00} )+\alpha _{14} +1+\sigma _{32}^{} (2\alpha _{14} \tau _{21} +\tau _{32} )E_{L0}^{2} } } \end{array}$\newline $n_{3} -n_{2} {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} n_{0} }{\alpha _{14} +1+\sigma _{32}^{} (2\alpha _{14} \tau _{21} +\tau _{32} )E_{L0}^{2} } $\newline $P_{c21} /E_{L0}^{2} =\frac{Vh\nu _{21} }{} \frac{1}{T_{0F} [\alpha _{14} +1+\sigma _{32}^{} T_{0F} n_{0} \alpha _{14} ]} $\newline \newline \newline и $2\alpha _{14} \tau _{21} <<\tau _{32} $ получаем\newline ${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $ & \\ \hline Пр2-3-х\newline ЛД & $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{13} (T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} -1)}{10\tau _{21} \sigma _{21}^{} } -\frac{T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} +1}{10\tau _{21} \sigma _{21}^{} } $\newline $T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} >>1$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{13} T_{0F} n_{0} }{10\tau _{21} } -\frac{T_{0F} n_{0} }{10\tau _{21} } $ & & \\ \hline 2-х\newline идеал & $E_{L0}^{2} {\rm =(1/}\tau _{21} \sigma _{21}^{} )[\sigma _{21}^{} n_{0} \alpha _{1} T_{0F} -1]$ $E_{0L} ^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} }{T_{1} } n_{0} \alpha _{12} -\frac{1}{\sigma _{21}^{} T_{1} } $ & $\omega _{\Gamma } =\omega _{00} -\alpha _{12} \cdot \frac{\sigma _{21}^{} }{T_{1} T_{0F} } \frac{1}{4\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )} $\newline & \\ \hline \end{tabular} Таблица . \begin{tabular}{|p{0.4in}|p{0.3in}|p{0.4in}|p{0.6in}|p{0.6in}|p{0.5in}|p{0.4in}|p{0.4in}|p{0.4in}|p{0.4in}|} \hline & $R_{1} $ & $R_{2} $ & $\sigma _{21} $ & $\alpha =W_{13} \tau _{21} $ & $n_{0} $ & $l$ & $\beta $ & $\beta l$ & $\sigma _{21} n_{0} $ \\ \hline рубин & 0,5 & 0,98 & 0,25*10${}^{-19}$\newline см${}^{2}$ & 1{\dots}10\newline & 1,6*10${}^{19}$\newline см${}^{-3}$ & 12 \newline см & 0,03\newline см${}^{-1}$ & 0,36 & 0,4 см${}^{-1}$ \\ \hline \end{tabular} Таблица . \begin{tabular}{|p{0.4in}|p{0.3in}|p{0.4in}|p{0.6in}|p{0.6in}|p{0.5in}|p{0.4in}|p{0.4in}|p{0.4in}|p{0.4in}|} \hline & $R_{1} $ & $R_{2} $ & $\sigma _{21} $ см${}^{2}$ & $\alpha =W_{13} \tau _{21} $ & $n_{0} $ см${}^{-3}$ & $l$ & $\beta $ & $\beta l$ & $\sigma _{21} n_{0} $ см${}^{-1}$ \\ \hline н & 0,5 & 0,98 & 0,25*10${}^{-19}$\newline & 1{\dots}10\newline & 1,6*10${}^{19}$\newline & 12 \newline & 0,03\newline & 0,36 & 0,4 \\ \hline \newline & & & & & & & & & \\ \hline & $R_{1} $ & $R_{2} $ & $\sigma _{21} $ & $\alpha =W_{13} \tau _{21} $ & $n_{0} $ см${}^{-3}$ & $l$ см & $\beta $ см${}^{-1}$ & $\beta l$ & $\sigma _{21} n_{0} $ \\ \hline п/п & 0,3 & 0,3 & & & 1,6*10${}^{1}$${}^{8}$\newline & & & & \\ \hline \end{tabular} \noindent \textbf{и амплитуду} \[E_{0L} ^{2} {\rm =}G_{0} T_{0F} \frac{1}{\sigma _{21}^{} T_{1} } \alpha _{12} -\frac{1}{\sigma _{21}^{} T_{1} } \] \textbf{частоту и} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )=\frac{G_{0} \alpha _{12} }{2T_{1} } (-\frac{1}{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } \pm \sqrt{(\frac{1}{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } )^{2} -4} ), \end{equation} \textbf{То есть }$0,95...0,99<\left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )(4\pi T_{0F} )\right|<1$\textbf{} \noindent \textbf{Формула} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \omega _{\Gamma } =\omega _{00} -G_{0} \alpha _{12} \frac{1}{4\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} T_{1} } , \end{equation} \noindent \noindent получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} 2\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} ){\rm =}G_{0} \alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]\frac{1}{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{L00} ^{2} ]^{2} } , \end{equation} получим \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} 2\pi (\nu _{00} -\nu _{0F} )[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} -G_{0} \alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]+[1+g_{00} \cdot E_{L00} ^{2} ]^{2} {\rm =0}, \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )=\frac{G_{0} \alpha _{12} }{2T_{1} } (-\frac{1}{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } \pm \sqrt{(\frac{1}{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } )^{2} -4} ), \end{equation} \textbf{Вывод 1)под радикалом должно выполняться условие }$\left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )(4\pi T_{0F} )\right|<1$\textbf{. } \noindent \textbf{С точки зрения ЧМ при изменении накачки }$\alpha _{12} $\textbf{выражение в занменателе должно быть как можно больше То есть }$0,95...0,99<\left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )(4\pi T_{0F} )\right|<1$\textbf{} \noindent \textbf{Формула} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \omega _{\Gamma } =\omega _{00} -G_{0} \alpha _{12} \frac{1}{4\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} T_{1} } , \end{equation} \textbf{Следует, что при условии }$0,95...0,99<\left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )(4\pi T_{0F} )\right|<1$ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} \alpha _{120} } =\frac{\Delta \alpha _{12} }{\alpha _{120} } \frac{G_{0} }{\omega _{\Gamma 0} T_{1} \cdot 4\pi \cdot (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } , \end{equation} \textbf{} \noindent \textbf{2)При этом паразитная ЧМ модуляция}$\frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} } $\textbf{, тем меньше , больше }$T_{1} $\textbf{о}$\omega _{\Gamma 0} $\textbf{ни и меньше}$G_{0} $\textbf{о или меньше отношение}$\frac{\Delta \alpha _{12} }{\alpha _{120} } \frac{G_{0} }{\omega _{\Gamma 0} T_{1} \cdot 4\pi \cdot (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } $\textbf{} \noindent \textbf{Пусть}$4\pi T_{0F} \left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )\right|=0,99$\textbf{ь}$\alpha _{120} =10$\textbf{,}$T_{1} =10^{-9} $\textbf{ }$G_{0} =10$\textbf{ то}$\omega _{\Gamma 0} =6\cdot 2\cdot 10^{14} $\textbf{рад/сек да}$\Delta \alpha _{12} /\alpha _{120} =0,01$\textbf{и} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} \alpha _{120} } =0,01\frac{10}{6\cdot 2\cdot 10^{14} 10^{-9} \cdot 0,99} \approx 0,01\frac{10}{6\cdot 2\cdot 10^{5} } =10^{-7} , \end{equation} $\frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} } \approx 10^{-6} $, или $\Delta \nu _{\Gamma } \approx 10^{-6} \nu _{\Gamma 0} =10^{-6} 2\cdot 10^{14} =2\cdot 10^{8} =200$ МГц \eqref{GrindEQ__2_3_7_} С низить на несколько порядков \noindent \noindent Для стационарного режима генерации ОЭГ из данной системы найдем стац частоту и амплитуду$g_{00} =2\tau _{21} \sigma _{21}^{} $2-х уровневое \noindent и$N_{ReL0} E_{L00} =\alpha _{12} \frac{E_{L00} }{[1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} \cdot E_{0L} ^{2} ]} =\alpha _{12} E_{L00} -0,3\alpha _{12} g_{00} (E_{L00} )^{3} $ \[{\rm 0=}G_{0} \alpha _{12} \frac{E_{L00} }{[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]} -\frac{1}{T_{0F} } E_{L00} \] \[E_{0L} ^{2} =\alpha _{12} \cdot (G_{0} T_{0F} /g_{00} )-1/g_{00} \] \begin{enumerate} \item 3 --уровневая схема накачки КЛД $T_{1} =\tau _{21} $ $\sigma _{21}^{} =G_{0} $ \[N=n_{2} -n_{1} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{\tau _{21} j(\omega -\omega _{00} )+\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } \] \[{\rm 0=}G_{0} n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+g_{00} E_{L0}^{2} } \frac{E_{L00} }{1} -\frac{1}{T_{0F} } E_{L00} \] \[\frac{1}{T_{0F} } {\rm =}\sigma _{21}^{} n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } \] \[E_{L0}^{2} {\rm =}T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} \frac{(\alpha _{13} -1)}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } -\frac{(\alpha _{13} +1)}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } \] \[E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} (\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } \] \[E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{13} (T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} -1)-T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} -1}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } \] \[E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{13} (T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} -1)}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } -\frac{T_{0F} \sigma _{21}^{} n_{0} +1}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } \] \end{enumerate} \noindent \begin{enumerate} \item 4 --уровневая схема накачки КЛД $T_{1} =\tau _{32} $ \[{\rm \; }N=n_{3} -n_{2} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{14} }{\tau _{32} j(\omega -\omega _{00} )+\alpha _{14} +(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )E_{L0}^{2} } \] \[{\rm 0=}G_{0} n_{0} \frac{\alpha _{14} }{1+\alpha _{14} +(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )E_{L0}^{2} } \frac{E_{L00} }{1} -\frac{1}{T_{0F} } E_{L00} \] \[{\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } \] \[{\rm 0=}G_{0} n_{0} \frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } -\frac{1}{T_{0F} } \] \[\frac{1}{T_{0F} } {\rm =}\sigma _{32}^{} n_{0} \frac{\alpha _{14} }{1+\alpha _{14} +(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )E_{L0}^{2} } \] \[\begin{array}{l} {E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} \alpha _{14} -(1+\alpha _{14} )}{[(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )]} =\frac{T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} \alpha _{14} -1-\alpha _{14} }{[(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )]} =} \\ {=\frac{\alpha _{14} (T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} -1)-1}{\sigma _{32}^{} (2\alpha _{14} \tau _{21} +\tau _{32} )} } \end{array}\] \[E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} (T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} -1)-1}{(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )} \] \end{enumerate} \begin{enumerate} \item ЛД на объемном кристалле(2-х уровневое приближение) $T_{1} =\tau _{21} $ \end{enumerate} \noindent о$N=n_{2} -n_{1} {\rm =}n_{0} \frac{\alpha _{21} }{\tau _{21} j(\omega -\omega _{00} )+1+0,2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } {\rm \; },$ \noindent о${\rm 0=}G_{0} \alpha _{12} \frac{E_{L00} }{[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]} -\frac{1}{T_{0F} } E_{L00} $ \noindent о$E_{0L} ^{2} =\alpha _{12} \cdot n_{0} (G_{0} T_{0F} /g_{00} )-1/g_{00} $ \[E_{0L} ^{2} =\alpha _{12} \cdot n_{0} (G_{0} T_{0F} /g_{00} )-1/g_{00} \] \includegraphics*[width=6.50in, height=3.18in, keepaspectratio=false]{image25} \noindent Отношение \noindent \includegraphics*[width=6.52in, height=3.00in, keepaspectratio=false]{image26} \noindent plot$\{$y=(x-1)/(x+1+3.2$\wedge$(-1)(3.8x-2))/(0.5*(3.8*x-2)), \noindent y=x/(x+3.2$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1)/( 1*(3.8*x-1)), \noindent [x,0,15] $\}$ \noindent \[00000000000000000000000\] Отношение \noindent \includegraphics*[width=5.68in, height=2.50in, keepaspectratio=false]{image27} \noindent plot$\{$y=(x-1)/(x+1+0.02$\wedge$(-1)(3.8x-2))/(0.5*(3.8*x-2)), y=x/(x+0.02$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1)/( 1*(3.8*x-1)), y=(x-1)/(x+1+0.02$\wedge$(-1)(2.8x-3))/(0.1*(2.8*x-3)), [x,0,15] $\}$ \noindent pppppppppp \noindent Отношение 4-х и ЛД \noindent \includegraphics*[width=6.48in, height=2.27in, keepaspectratio=false]{image28} \noindent plot$\{$y=(x-1)/(x+1+0.02$\wedge$(-1)(3.8x-2))/(0.5*(3.8*x-2)), y=x/(x+0.02$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1)/( 1*(3.8*x-1)), y=(x-1)/(x+1+0.02$\wedge$(-1)(2.8x-3))/(0.1*(2.8*x-3)), [x,0,15] $\}$ \[\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} } =} \\ {=\frac{72l\sigma _{21} n_{0} (\alpha _{13} -1)}{[(\alpha _{13} +1)+0,1\frac{2,8(\alpha _{13} -3)}{72} ]0,1[4,8(\alpha _{13} -1)-2(\alpha _{13} +1)]} } \end{array}\] plot$\{$y=(x-1)/(x+1+0.02$\wedge$(-1)(3.8x-2))/(0.5*(3.8*x-2)), y=x/(x+0.02$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1)/( 1*(3.8*x-1)), [x,0,15] $\}$ \noindent \noindent \noindent ppppppppppppppp \noindent мощность \noindent plot $\{$y=0.5*(3.8*x-2), y=1*(3.8*x-1),y=0.1*(3.8*x-17), y=0.01*(x$\wedge$2), [x,0,15] $\}$ \noindent plot$\{$y3=(x-1)/(x+1+72$\wedge$(-1)(3.8x-2)),y=x/(x+72$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)), [x,0,15] $\}$ \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent pppppppppppppppppppp \noindent мощность спонтанного \noindent \includegraphics*[width=5.42in, height=2.67in, keepaspectratio=false]{image29} \noindent \includegraphics*[width=6.49in, height=2.32in, keepaspectratio=false]{image30} \noindent plot$\{$y=(x-1)/(x+1+0.315*(3.8x-2)), \noindent y=(x-1)/(x+0.033*(3.8*x-2)+1), \noindent y=x/(x+0.315*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1), \noindent y=x/(x+0.033*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1), [x,0,15] $\}$ \noindent тттттттттттттттт \noindent \noindent \noindent plot$\{$y=(x-1)/(x+1+30.2$\wedge$(-1)(3.8x-2)), \noindent y=x/(x+1.2$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1), \noindent y=x/(x+1.2$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1), \noindent y=x/(x+30.2$\wedge$(-1)*(3.8*x-1)*(0.2*x+1)+1), [x,0,15] $\}$ \noindent тттттттттттттттт \noindent \noindent \noindent \noindent тттттттттттттттттттттттттт \[\begin{array}{l} {P_{c21} \cdot [\tau _{21} /(h\nu _{21} Vn_{0} )]=} \\ {=\frac{\alpha _{13} -1}{(\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]} } \end{array}\begin{array}{l} {P_{c} _{32} [\frac{\tau _{32} }{h\nu _{32} Vn_{0} } ]=} \\ {=\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)} } \end{array}\] \[{\rm \; }\frac{n_{2} -n_{1} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} } \alpha _{13TH} {\rm =}\frac{2\sigma _{21} n_{0} l+T_{F} \cdot (c/n_{pr} )}{2\sigma _{21} n_{0} l-T_{F} (c/n_{pr} )} ,\alpha _{21TH} {\rm =}\frac{T_{F} \cdot (c/n_{pr} )}{2\sigma _{21} n_{0} l-T_{F} (c/n_{pr} )} ,\] \begin{tabular}{|p{0.7in}|p{1.9in}|p{1.8in}|} \hline Тип системы накачки\newline & уравнение для мощности вынужденного \newline излучения\newline $n_{pr} $ & уравнение для инверсной населенности мощности спонтанного излучения и пороговой накачки лазера\newline $P_{c21} =h\nu _{21} (n_{2} -n_{1} )V/\tau _{21} $ \\ \hline 3-х КЛД & $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b3} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{2\tau _{21} T_{F} c/n_{pr} } \times } \\ {[\alpha _{13} (1-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )-(1+\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )]} \end{array}$ & ${\rm \; }\frac{n_{2} -n_{1} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\sigma _{21}^{} \tau _{21} P_{b3} } $\newline $\alpha _{13TH} {\rm =1+}\frac{T_{F} \cdot (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} l} ,$ \\ \hline 4-х КЛД & $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} _{4} =\frac{n_{0} Vh\nu _{32} }{\tau _{32} T_{F} (c/n_{pr} )} \cdot } \\ {\times [\alpha _{14} (1-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{32} n_{0} } )-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{32} n_{0} } ]} \end{array}$ & $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}n_{0} \alpha _{1} /[1+\tau _{21} \sigma _{21}^{} \cdot E_{L0}^{2} {\rm ]}$\newline $\alpha _{14TH} {\rm =}\frac{T_{F} \cdot (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} l} ,$ \\ \hline 2-х ЛД(неидеальный) & $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b3} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{2\tau _{21} T_{F} c/n_{pr} } \times } \\ {\times [\frac{\alpha _{13} }{10} (1-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )-10\cdot (1+\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )]} \end{array}$ & $\alpha _{13TH} {\rm =10(1+}\frac{T_{F} \cdot (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} l} ),$ \\ \hline 2-х идаельная & $P_{b} _{4} =\frac{n_{0} Vh\nu _{32} }{\tau _{21} T_{F} (c/n_{pr} )} [\frac{\alpha _{21} }{1} -\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} n_{0} l} ],$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =s}\frac{\alpha _{1} n_{0} T_{0F} (c/n_{pr} )}{\tau _{21} } -s\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } ,$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =s}\frac{\alpha _{1} n_{0} T_{0F} (c/n_{pr} )}{\tau _{21} } -s\frac{T_{0F} (c/n_{pr} )}{T_{0F} (c/n_{pr} )\tau _{21} \sigma _{21}^{} } ,$ & \\ \hline & $R_{1} =1;\_ R_{2} =0,5;\_ \sigma _{21} n_{0} l=4,8;\_ \beta l=0,36;$,$\sigma _{21} \tau _{21} =10^{-28} $[см${}^{-2}$c]\newline \newline & \\ \hline \end{tabular} \begin{tabular}{|p{0.4in}|p{2.1in}|p{1.9in}|} \hline Тип системы накачки\newline & уравнение для мощности вынужденного излучения & уравнение для мощности спонтанного излучения\newline лазера КЛД\newline $P_{c21} =h\nu _{21} (n_{2} -n_{1} )V/\tau _{21} $\newline Без генерации 2-х уровневая \newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}\alpha _{1} n_{0} $\newline $P_{c21} \cdot [\tau _{21} /(h\nu _{21} Vn_{0} )]=\alpha _{1} $\newline Без генерации 3-х уровневая \newline ${\rm \; }\frac{n_{2} -n_{1} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1} $\newline $\begin{array}{l} {P_{c21} \cdot [\tau _{21} /(h\nu _{21} Vn_{0} )]=} \\ {=\frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1} } \end{array}$\newline С учетом в диф урав спонтанного члена в излучении\newline \newline \\ \hline 3-х уровневая КЛД & $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b3} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{2\tau _{21} T_{F} c/n_{pr} } \times } \\ {[\alpha _{13} (1-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )-(1+\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )]} \end{array}$\newline $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{21} l}{Vh\nu _{21} } ]=\frac{0,5}{72\sigma _{21} } \cdot (3,8\alpha _{13} -2)$\newline & $\begin{array}{l} {P_{c21} \cdot [\tau _{21} /(h\nu _{21} Vn_{0} )]=} \\ {=\frac{\alpha _{13} -1}{(\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]} } \end{array}$ \\ \hline & $\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} (l\sigma _{21} n_{0} )} =} \\ {=\frac{2\cdot 72(\alpha _{13} -1)}{\{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]} } \end{array}$ & $\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} } =} \\ {=\frac{2\cdot 72\cdot 4,8(\alpha _{13} -1)}{\{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]} } \end{array}$ \\ \hline 4-х уровневая\newline КЛД\newline & $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{32} }{Vh\nu _{32} n_{0} } ]=\frac{1}{72n_{0} \sigma _{32} l} (3,8\alpha _{14} -1)$\newline $\begin{array}{l} {\frac{P_{c} _{32} }{P_{b} n_{0} \sigma _{32} l} =} \\ {=\frac{72\alpha _{14} }{[\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)][3,8\alpha _{14} -1]} } \end{array}$ & \newline $\begin{array}{l} {P_{c} _{32} [\frac{\tau _{32} }{h\nu _{32} Vn_{0} } ]=} \\ {=\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)} } \end{array}$\newline \newline \newline \\ \hline Отношение шум .сигнал 4-/3-х & 4-х $\begin{array}{l} {\frac{P_{c} _{32} }{P_{b} n_{0} \sigma _{32} l} =} \\ {=\frac{72\alpha _{14} }{[\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)][3,8\alpha _{14} -1]} } \end{array}$\newline 3-х:\newline $\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} (l\sigma _{21} n_{0} )} =} \\ {=\frac{2\cdot 72(\alpha _{13} -1)}{\{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]} } \end{array}$ & 4-х/3-х:\newline $\begin{array}{l} {(\frac{P_{c} _{32} }{P_{b_{32} } \cdot (n_{032} \sigma _{32} )} )/(\frac{P_{c21} }{P_{b21} \cdot (\sigma _{21} n_{0} )} )=} \\ {=\frac{\alpha _{14} \{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]}{2(\alpha _{13} -1)[\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)][3,8\alpha _{14} -1]} } \end{array}$\newline \\ \hline 2-х уровневая \textbf{ЛД}\newline & \newline $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{21} }{Vh\nu _{21} n_{0} } ]=\frac{0,1}{72l\sigma _{21} n_{0} } \cdot [2,8(\alpha _{13} -3)]$$\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} } =} \\ {=\frac{72l\sigma _{21} n_{0} (\alpha _{13} -1)}{[(\alpha _{13} +1)+0,1\frac{2,8(\alpha _{13} -3)}{72} ]0,1[4,8(\alpha _{13} -1)-2(\alpha _{13} +1)]} } \end{array}$\newline \newline & \newline \newline $\frac{P_{c21} \tau _{21} }{h\nu _{21} n_{0} V} =\frac{\alpha _{13} -1}{[(\alpha _{13} +1)+0,1\frac{2,8(\alpha _{13} -3)}{72} ]} $ \\ \hline 2-х уровневая\newline \textbf{Идеальная\newline КЛД-ЛД\newline } & $\begin{array}{l} {P_{b} \cdot [\frac{1}{Vh\nu _{21} n_{0} } ]=} \\ {=E_{0L} ^{2} [\frac{1}{Vh\nu _{21} n_{0} } ]{\rm =}\frac{1}{l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{1} } [l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{0F} \alpha _{12} -1]} \end{array}$\newline \newline $\frac{P_{c21} }{[h\nu _{21} n_{0} V]} =\frac{1}{T_{0F} [l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{0F} \alpha _{12} -1]} $ & \newline $\frac{P_{c21} }{[h\nu _{21} n_{0} V]} =\frac{1}{\tau _{21} T_{0F} l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} } $ \\ \hline \end{tabular} \noindent \noindent \noindent \begin{tabular}{|p{0.4in}|p{2.1in}|p{1.9in}|} \hline Тип системы накачки\newline & уравнение для квадрата амплитуды & уравнение для спонтанного излучения\newline лазера КЛД \\ \hline 3-х уровневая\newline КЛД\newline & $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{13} (T_{0F} n_{0} 2\tau _{21} \sigma _{21}^{} -1)-T_{0F} G_{0} n_{0} -1}{2\tau _{21} \sigma _{21}^{} } $$\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} \cdot [\frac{72\sigma _{21} \tau _{21} l}{Vh\nu _{21} } ]=0,5\cdot [\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]} \\ {\sigma _{21} n_{0} l=4,8} \\ {} \end{array}$\newline $R_{1} =1;\_ R_{2} =0,5;\_ \sigma _{21} n_{0} l=4,8;\_ \beta l=0,36;$,$\sigma _{21} \tau _{21} =10^{-28} $[см${}^{-2}$c]\newline \newline $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{21} l}{Vh\nu _{21} } ]=\frac{0,5}{72\sigma _{21} } \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]$\newline $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{21} }{Vh\nu _{21} n_{0} } ]=\frac{0,5}{72l\sigma _{21} n_{0} } \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]$\newline $\begin{array}{l} {P_{c21} \cdot [\tau _{21} /(h\nu _{21} Vn_{0} )]=} \\ {=\frac{\alpha _{13} -1}{(\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]} } \end{array}$ & $P_{c21} =h\nu _{21} (n_{2} -n_{1} )V/\tau _{21} $\newline $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} \cdot } \frac{\alpha _{13} }{0,5(3\alpha _{13} +1)} $\newline $\begin{array}{l} {(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\tau _{21} W_{13} -1}{[(\tau _{21} W_{13} +1)+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} ]} } \\ {\tau _{21} W_{13} =\alpha _{13} } \end{array}$\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{[(\alpha _{13} +1)+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} ]} $\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{[(\alpha _{13} +1)+\frac{\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)}{72} ]} $$(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{[(\alpha _{13} +1)+\frac{4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)}{72} ]} $\newline $P_{c21} \cdot [\tau _{21} /h\nu _{21} V]=(n_{2} -n_{1} )$\newline $\begin{array}{l} {P_{c21} \cdot [\tau _{21} /(h\nu _{21} Vn_{0} )]=} \\ {=\frac{\alpha _{13} -1}{(\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]} } \end{array}$ \\ \hline & $\begin{array}{l} {P_{c21} /P_{b} =} \\ {=\frac{72l\sigma _{21} n_{0} (\alpha _{13} -1)}{0,5\{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]\} [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]} } \end{array}$$\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} (l\sigma _{21} n_{0} )} =} \\ {=\frac{2\cdot 72(\alpha _{13} -1)}{\{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]} } \end{array}$ & $\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} } =} \\ {=\frac{2\cdot 72\cdot 4,8(\alpha _{13} -1)}{\{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]} } \end{array}$ \\ \hline 4-х уровневая\newline КЛД\newline & $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} G_{0} n_{0} \alpha _{14} -(1+\alpha _{14} )}{\tau _{21} \sigma _{32}^{} (2\alpha _{14} +1)} $\newline $R_{1} =1;\_ R_{2} =0,5;\_ \sigma _{21} n_{0} l=4,8;\_ \beta l=0,36;$\newline $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{32} l}{Vh\nu _{32} } ]=\frac{1}{72\sigma _{32} } [4,8\alpha _{14} -(\alpha _{14} +1)]$\newline \newline $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{32} }{Vh\nu _{32} n_{0} } ]=\frac{1}{72n_{0} \sigma _{32} l} [4,8\alpha _{14} -(\alpha _{14} +1)]$\newline \newline \newline $\begin{array}{l} {\frac{P_{c} _{32} }{P_{b} n_{0} \sigma _{32} l} =} \\ {=\frac{72\alpha _{14} }{[\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)][3,8\alpha _{14} -1]} } \end{array}$ & ${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +\frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha _{14} -\alpha _{14} -1}{72} (\alpha _{14} \frac{2\tau _{21} }{\tau _{32} } +1)} $\newline $R_{1} =1;\_ R_{2} =0,5;\_ \sigma _{21} n_{0} l=4,8;\_ \beta l=0,36;$\newline $\frac{\tau _{21} }{\tau _{32} } =0,1$\newline ${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)} $\newline $P_{c} _{32} =h\nu _{32} (n_{3} -n_{2} )V/\tau _{32} $\newline $\begin{array}{l} {P_{c} _{32} [\frac{\tau _{32} }{h\nu _{32} Vn_{0} } ]=} \\ {=\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)} } \end{array}$\newline \newline \newline $P_{c} _{32} =\frac{Vh\nu _{32} n_{0} }{\tau _{32} } \frac{\alpha _{14} }{0.8\alpha _{14}^{2} _{} +\alpha _{14} +0,1} $\newline где$\alpha _{14} =W_{14} \tau _{32} $ где $(W_{32} /\omega _{21} )\approx 0,1...1$\newline упрощенная $\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =}\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} {\rm +1}+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $ \\ \hline Отношение шум .сигнал 4-/3-х & 4-х $\begin{array}{l} {\frac{P_{c} _{32} }{P_{b} n_{0} \sigma _{32} l} =} \\ {=\frac{72\alpha _{14} }{[\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)][3,8\alpha _{14} -1]} } \end{array}$\newline 3-х:\newline $\begin{array}{l} {\frac{P_{c21} }{P_{b} (l\sigma _{21} n_{0} )} =} \\ {=\frac{2\cdot 72(\alpha _{13} -1)}{\{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]} } \end{array}$ & 4-х/3-х:\newline $\begin{array}{l} {(\frac{P_{c} _{32} }{P_{b_{32} } \cdot (n_{032} \sigma _{32} )} )/(\frac{P_{c21} }{P_{b21} \cdot (\sigma _{21} n_{0} )} )=} \\ {=\frac{\alpha _{14} \{ (\alpha _{13} +1)+72^{-1} \cdot [3,8(\alpha _{13} -2)]\} [3,8(\alpha _{13} -2)]}{2(\alpha _{13} -1)[\alpha _{14} +72^{-1} \cdot (3,8\alpha _{14} -1)(0,2\alpha _{14} +1)][3,8\alpha _{14} -1]} } \end{array}$\newline \\ \hline 2-х уровневая \textbf{ЛД}\newline & $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} \cdot [\frac{72\sigma _{21} \tau _{21} l}{Vh\nu _{21} } ]=0,1\cdot [\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-2(\alpha _{13} +1)]} \\ {\sigma _{21} n_{0} l=4,8} \\ {} \end{array}$\newline $P_{b} \cdot [\frac{\tau _{21} }{Vh\nu _{21} n_{0} } ]=\frac{0,1}{72l\sigma _{21} n_{0} } \cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-2(\alpha _{13} +1)]$\newline \newline & $P_{c21} =h\nu _{21} (n_{2} -n_{1} )V/\tau _{21} $\newline $\begin{array}{l} {(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\tau _{21} W_{13} -1}{[(\tau _{21} W_{13} +1)+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} ]} } \\ {\tau _{21} W_{13} =\alpha _{13} } \end{array}$\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{[(\alpha _{13} +1)+0,1\frac{4,8(\alpha _{13} -1)-2(\alpha _{13} +1)}{72} ]} $$P_{c21} =h\nu _{21} (n_{2} -n_{1} )V/\tau _{21} $ \\ \hline 2-х уровневая\newline \textbf{Идеальная\newline КЛД-ЛД\newline } & $E_{0L} ^{2} {\rm =}\frac{1}{l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{1} } [l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{0F} \alpha _{12} -1]$$\begin{array}{l} {P_{b} \cdot [\frac{1}{Vh\nu _{21} n_{0} } ]=} \\ {=E_{0L} ^{2} [\frac{1}{Vh\nu _{21} n_{0} } ]{\rm =}\frac{1}{l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{1} } [l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{0F} \alpha _{12} -1]} \end{array}$\newline \newline $\frac{P_{c21} }{[h\nu _{21} n_{0} V]} =\frac{1}{T_{0F} [l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{0F} \alpha _{12} -1]} $ & $P_{c21} =h\nu _{21} (n_{2} -n_{1} )V/\tau _{21} $$(n_{2} -n_{1} ){\rm =}n_{0} \alpha _{1} /[1+\tau _{21} \sigma _{21}^{} l\cdot c\cdot E_{L0}^{2} {\rm ]}$\newline $\frac{P_{c21} \tau _{21} }{[h\nu _{21} n_{0} V]} =\frac{\alpha _{1} }{[1+l\cdot c\cdot \tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} {\rm ]}} $\newline $E_{0L} ^{2} {\rm =}\frac{1}{l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{1} } [l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} T_{0F} \alpha _{12} -1]$\newline $\frac{P_{c21} }{[h\nu _{21} n_{0} V]} =\frac{1}{\tau _{21} T_{0F} l\cdot c\cdot \sigma _{21}^{} } $ \\ \hline \end{tabular} \noindent Таблица 3.1. Сравнение 3-х уровневой и 4-х уровневой систем накачек \begin{tabular}{|p{0.4in}|p{2.1in}|p{2.2in}|} \hline \textbf{СН} & 3-х уровневая система накачки\newline \newline \textbf{} & 4-х уровневая система накачки\newline \textbf{} \\ \hline \textbf{}\textbf{ДУН } & $\begin{array}{l} {{\rm \; }\frac{dn_{1} }{dt} {\rm =}W_{21} (n_{2} -n_{1} )-W_{13} (n_{1} -n_{3} )+{\rm \; }\frac{n_{2} }{\tau _{21} } +\frac{n_{3} }{\tau _{31} } ,} \\ {\frac{dn_{2} }{dt} {\rm =}-W_{21} (n_{2} -n_{1} )+{\rm \; }\frac{n_{3} }{\tau _{32} } -\frac{n_{2} }{\tau _{21} } ,} \\ {\frac{dn_{3} }{dt} {\rm =}W_{13} (n_{1} -n_{3} )-{\rm \; }\frac{n_{3} }{\tau _{32} } -\frac{n_{3} }{\tau _{31} } ,} \end{array}$\newline ${\rm \; }n_{0} {\rm =}n_{1} +n_{2} +{\rm \; }n_{3} $\textbf{} & $\begin{array}{l} {{\rm \; }\frac{dn_{4} }{dt} {\rm =}W_{14} (n_{1} -n_{4} )-{\rm \; }\frac{n_{4} }{\tau _{43} } ,} \\ {\frac{dn_{3} }{dt} {\rm =}-W_{32} (n_{3} -n_{2} )+{\rm \; }\frac{n_{4} }{\tau _{43} } -\frac{n_{3} }{\tau _{32} } ,} \\ {\frac{dn_{2} }{dt} {\rm =}W_{32} (n_{3} -n_{2} )+{\rm \; }\frac{n_{3} }{\tau _{32} } -\omega _{21} n_{2} +\omega _{12} n_{1} ,} \end{array}$\newline ${\rm \; }n_{0} {\rm =}n_{1} +n_{2} +{\rm \; }n_{3} +n_{4} $\textbf{} \\ \hline \textbf{}\textbf{ИН} & ${\rm \; }\frac{n_{2} -n_{1} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\tau _{21} W_{13} -1}{\tau _{21} W_{13} +1+2W_{21} \tau _{21} } $,\textbf{} & ${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{W_{14} \tau _{32} }{W_{14} \tau _{32} +2W_{14} \tau _{32} W_{32} /\omega _{21} +1+W_{32} \tau _{32} } $\textbf{} \\ \hline \textbf{}\textbf{ДУИ} & $\frac{dE_{L0}^{2} }{dt} {\rm =}E_{L0}^{2} (\frac{c}{n_{pr} } \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-1/T_{0F} )$$\beta =1/T_{0F} $\newline ${\rm \; }\frac{n_{2} -n_{1} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} } $\newline \newline \newline \newline \newline 2-х уровневая без учета спонтанного члена\newline $\begin{array}{l} {\frac{d(n_{2} -n_{1} )}{dt} {\rm =}W_{12} (n_{1} -n_{2} )-} \\ {-\frac{n_{2} -n_{1} }{\tau _{21} } -\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )E_{L0}^{2} ,} \end{array}$\newline ${\rm 0=}\alpha _{1} -(n_{2} -n_{1} )-\tau _{21} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )E_{L0}^{2} ,$\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}n_{0} \alpha _{1} /[1+\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} {\rm ]}$\newline $\frac{dE_{L0}^{2} }{dt} {\rm =}E_{L0}^{2} (\frac{c}{n_{pr} } \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-1/T_{0F} )$\newline $1/T_{0F} {\rm =}(\frac{c}{n_{pr} } )\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )$\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}\frac{\alpha _{1} n_{0} }{[1+\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} {\rm ]}} ,$\newline $[1+\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} {\rm ]=}\frac{\alpha _{1} n_{0} }{(n_{2} -n_{1} )} ,$\newline $\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{1} n_{0} }{(n_{2} -n_{1} )} -1,$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{1} n_{0} }{\tau _{21} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )} -\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } ,$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } {\rm [}\frac{\alpha _{1} n_{0} }{(n_{2} -n_{1} )} -1],$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } {\rm [}\alpha _{1} \frac{T_{0F} (\frac{c}{n_{pr} } )\sigma _{21}^{} n_{0} }{1} -1],$\newline $\frac{1}{T_{0F} (\frac{c}{n_{pr} } )\sigma _{21}^{} } {\rm =}(n_{2} -n_{1} )$$[\frac{\tau _{21} }{Vh\nu _{21} n_{0} } ]$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{1} n_{0} T_{0F} (c/n_{pr} )}{\tau _{21} } -\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } ,$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} (c/n_{pr} )}{\tau _{21} } \frac{\alpha _{1} }{1} -\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } $\newline $E_{L0}^{2} {\rm =(1/}\tau _{21} \sigma _{21}^{} )[\alpha _{1} \cdot \sigma _{21}^{} n_{0} T_{0F} (c/n_{pr} )-1]$\newline \newline \newline \newline $\beta {\rm =}\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )$${\rm 0=}\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-\beta $\newline ${\rm 0=}\alpha _{1} -(n_{2} -n_{1} )-\tau _{21} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )E_{L0}^{2} ,$\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}\alpha _{1} $\newline \newline 2-х уровневая с учетом спонтанного члена до порога Сверх люминисценция\newline \newline $\begin{array}{l} {\frac{d(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} )}{dt} {\rm =}} \\ {{\rm =}(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} )\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-} \\ {-(c/(n_{pr} T_{F} ))E_{L0}^{2} +\beta _{SP} E_{SP0}^{2} } \end{array}$\newline $\begin{array}{l} {\frac{d(n_{2} -n_{1} )}{dt} {\rm =}} \\ {{\rm =}\alpha -\frac{n_{2} -n_{1} }{\tau _{21} } -\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} ),} \end{array}$${\rm 0=}E_{L0}^{2} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )+E_{SP0}^{2} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )$${\rm 0=}E_{SP0}^{2} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )+\beta _{SP} E_{SP0}^{2} $\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}\beta _{SP} /\sigma _{21}^{} $\newline ${\rm 0=}\alpha _{1} -(n_{2} -n_{1} )-\tau _{21} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )E_{SP0}^{2} ,$\newline ${\rm 0=}\alpha _{1} -(\beta _{SP} /\sigma _{21}^{} )-\tau _{21} \sigma _{21}^{} (\beta _{SP} /\sigma _{21}^{} )E_{SP0}^{2} ,$\newline Сверх люминисценция$E_{L0}^{2} =0$\newline $\begin{array}{l} {E_{SP0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{1} -(\beta _{SP} /\sigma _{21}^{} )}{\tau _{21} \beta _{SP} } =} \\ {=\frac{1}{\tau _{21} } (\frac{\alpha _{1} }{\beta _{SP} } -\frac{1}{\sigma _{21}^{} } )} \end{array}$\newline Сверх люминисценция$E_{L0}^{2} \ne 0$\newline $\begin{array}{l} {\frac{d(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} )}{dt} {\rm =}} \\ {{\rm =}(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} )\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-} \\ {-(c/(n_{pr} T_{F} ))E_{L0}^{2} +\beta _{SP} E_{SP0}^{2} } \end{array}$\newline ${\rm 0=}\alpha -\frac{n_{2} -n_{1} }{\tau _{21} } -\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} ),$\newline $\begin{array}{l} {{\rm 0=}E_{L0}^{2} [\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-} \\ {-(c/(n_{pr} T_{F} ))]+\beta _{SP} E_{SP0}^{2} } \end{array}$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}-\beta _{SP} E_{SP0}^{2} /\{ [\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-(c/(n_{pr} T_{F} ))]\} $\newline ${\rm 0=}\alpha -\frac{n_{2} -n_{1} }{\tau _{21} } -\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} ),$\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}\alpha /[\frac{1}{\tau _{21} } +\sigma _{21}^{} (E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} )],$\newline ${\rm 0=}\alpha -\frac{n_{2} -n_{1} }{\tau _{21} } +\frac{\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )\beta _{SP} E_{SP0}^{2} }{\{ [\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-(c/(n_{pr} T_{F} ))]\} } ,$$E_{SP0}^{2} {\rm =-}\frac{{\rm (}\alpha \tau _{21} -\frac{n_{2} -n_{1} }{1} )\{ [\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-(c/(n_{pr} T_{F} ))]\} }{\tau _{21} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )\beta _{SP} } ,$$E_{SP0}^{2} {\rm =-}\frac{{\rm (}\alpha \tau _{21} -\frac{n_{2} -n_{1} }{1} )\{ [\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-(c/(n_{pr} T_{F} ))]\} }{\tau _{21} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )\beta _{SP} } ,$ & $\frac{dE_{L0}^{2} }{dt} {\rm =}E_{L0}^{2} \sigma _{32}^{} (n_{3} -n_{2} )-\beta E_{L0}^{2} $\newline $\frac{dE_{L0}^{2} }{dt} {\rm =}E_{L0}^{2} (\sigma _{21}^{} (n_{3} -n_{2} )-1/T_{0F} )$\newline $1/T_{0F} {\rm =}\sigma _{21}^{} (n_{3} -n_{2} )$$\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =}\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} {\rm +1}+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $\newline $1/T_{0F} {\rm =}\sigma _{21}^{} \frac{\alpha _{14} n_{0} }{\alpha _{14} {\rm +1}+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} \sigma _{32}^{} \alpha _{14} n_{0} }{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } -\frac{(\alpha _{14} {\rm +1)}}{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } $\newline \newline $\begin{array}{l} {E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} (T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} -1)-1}{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } =} \\ {=\frac{\alpha _{14} (T_{0F} \sigma _{32}^{} n_{0} -1)}{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } -\frac{1}{\tau _{32} \sigma _{32}^{} } } \end{array}$\newline \newline \newline \newline \newline 2-х уровневая с учетом спонтанного члена до порога Сверх люминисценция\newline $\begin{array}{l} {\frac{d(n_{2} -n_{1} )}{dt} {\rm =}} \\ {{\rm =}\alpha -\frac{n_{2} -n_{1} }{\tau _{21} } -\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )(E_{L0}^{2} ),} \end{array}$\newline $\begin{array}{l} {\frac{d(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} )}{dt} {\rm =}} \\ {{\rm =}(E_{L0}^{2} +E_{SP0}^{2} )\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-} \\ {-(c/(n_{pr} T_{F} ))E_{L0}^{2} +\beta _{SP} E_{SP0}^{2} } \end{array}$\newline Ддддддд\newline $\begin{array}{l} {{\rm 0=}} \\ {{\rm =}\alpha -\frac{n_{2} -n_{1} }{\tau _{21} } -\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )(E_{L0}^{2} ),} \end{array}$\newline ${\rm 0=}E_{L0}^{2} \sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-(c/n_{pr} )T_{F} E_{L0}^{2} +\beta _{SP} E_{SP0}^{2} $\newline Ддддддд\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}\frac{\alpha _{21} \tau _{21} }{1+\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } ,$\newline $E_{L0}^{2} {\rm =}\frac{-\beta _{SP} E_{SP0}^{2} }{[\sigma _{21}^{} (n_{2} -n_{1} )-(c/n_{pr} )T_{F} ]} $\newline Ддддддд\newline $-(c/(n_{pr} T_{F} ))\tau _{21} \sigma _{21}^{} (E_{L0}^{2} )^{2} +E_{L0}^{2} [\sigma _{21}^{} \alpha _{21} \tau _{21} -(c/(n_{pr} T_{F} ))+\beta _{SP} E_{SP0}^{2} \tau _{21} \sigma _{21}^{} ]+\beta _{SP} E_{SP0}^{2} {\rm =0}$ Ддддддд\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =}(c/(n_{pr} T_{F} \sigma _{21}^{} ))-\beta _{SP} \frac{E_{SP0}^{2} }{\sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } $\newline $(E_{L0}^{2} ){\rm =}\frac{\alpha _{21} }{[(c/n_{pr} )T_{F} -\beta _{SP} \frac{E_{SP0}^{2} }{E_{L0}^{2} } {\rm ]}} -\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } ,$\newline \newline $(E_{L0}^{2} ){\rm =}\frac{\alpha _{21} }{T_{F} (c/n_{pr} )} -\frac{1}{\tau _{21} \sigma _{21}^{} } ,$ \\ \hline \textbf{}\textbf{ПДУН} & $\begin{array}{l} {\frac{d(n_{2} -n_{1} )}{dt} {\rm =\; }W_{13} n_{0} -\frac{n_{0} }{\tau _{21} } -} \\ {-(n_{2} -n_{1} )(W_{13} +\frac{1}{\tau _{21} } )-2\sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} (n_{2} -n_{1} ),} \end{array}$\newline $\begin{array}{l} {(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\tau _{21} W_{13} -1}{[\tau _{21} p+(\tau _{21} W_{13} +1)+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} ]} } \\ {\tau _{21} W_{13} =\alpha _{13} } \end{array}$\newline $(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{[\tau _{21} p+(\alpha _{13} +1)+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} ]} $\newline \newline ${\rm \; }P_{b} =\frac{Vh\nu _{21} }{2\sigma _{21} \tau _{21} l} \cdot \frac{\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)}{72} $\newline $\begin{array}{l} {(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }} \\ {{\rm =}n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{[\tau _{21} p+(\alpha _{13} +1)+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} \frac{Vh\nu _{21} }{2\sigma _{21} \tau _{21} ls} \cdot \frac{\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)}{72} ]} } \end{array}$$(n_{2} -n_{1} ){\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{[(\alpha _{13} +1)+\frac{\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)}{72} ]} $ & \newline $\frac{d(n_{3} -n_{2} )}{dt} {\rm =}+W_{14} (n_{0} -n_{3} ){\rm \; }-\frac{n_{3} }{\tau _{32} } -\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} n_{3} ,$\newline $p(n_{3} -n_{2} ){\rm =}W_{14} n_{0} -W_{14} n_{3} {\rm \; }-\frac{n_{3} }{\tau _{32} } -\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} n_{3} ,$\newline $pn_{3} {\rm =}W_{14} n_{0} -W_{14} n_{3} {\rm \; }-\frac{n_{3} }{\tau _{32} } -\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} n_{3} ,$\newline $n_{3} [p+W_{14} n_{3} {\rm \; +}\frac{1}{\tau _{32} } +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} ]{\rm =}W_{14} n_{0} $\newline $n_{3} -n_{2} {\rm =}\frac{W_{14} n_{0} \tau _{32} }{[p\tau _{32} +W_{14} \tau _{32} {\rm \; +1}+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} ]} $\newline $n_{3} -n_{2} {\rm =}\frac{\alpha _{14} n_{0} }{[p\tau _{32} +\alpha _{14} {\rm +1}+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} ]} $\newline ${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{W_{14} \tau _{32} }{W_{14} \tau _{32} +2W_{14} \tau _{32} W_{32} /\omega _{21} +1+W_{32} \tau _{32} } $${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\tau _{21} p+\alpha _{14} (1+2\tau _{21} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $${\rm \; }I_{1} \cdot s/h\nu _{32} {\rm =}E_{L0}^{2} \cdot s/h\nu _{32} {\rm =}P_{b} /h\nu _{32} =\frac{V}{\sigma _{32} \tau _{32} l} \cdot \frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha -(\alpha +1)}{72} $\newline ${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\tau _{21} p+\alpha _{14} (1+2\tau _{21} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )+\frac{h\nu _{32} }{1} \cdot \frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha -(\alpha +1)}{72} } $${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +\alpha _{14} 2\tau _{21} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} +\frac{h\nu _{32} }{1} \cdot \frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha _{14} -(\alpha _{14} +1)}{72} } $${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +\alpha _{14} \frac{2\tau _{21} }{\tau _{32} } \cdot \frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha -(\alpha +1)}{72} +\frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha _{14} -(\alpha _{14} +1)}{72} } $${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} +\frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha _{14} -\alpha _{14} -1}{72} (\alpha _{14} \frac{2\tau _{21} }{\tau _{32} } +1)} $ \\ \hline \textbf{}\textbf{УНСГ} & ${\rm \; }\frac{n_{2} -n_{1} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{13} -1}{\alpha _{13} +1+2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} } $, \newline где$\alpha _{13} =W_{13} \tau _{21} ,\_ E_{L0}^{2} =P_{b} /Vh\nu _{21} $ ,\newline где${\rm \; }P_{b} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{4\tau _{21} } [(0,84\alpha _{13} -1,16)]$$2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} =0,5\sigma _{21}^{} n_{0} [(0,84\alpha _{13} -1,16)]$\newline & ${\rm \; }\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =\; }\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} (1+2\tau _{21} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )+1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $\newline где$\alpha _{14} =W_{14} \tau _{32} $ где $(W_{32} /\omega _{21} )\approx 0,1...1$\newline упорощенная $\frac{n_{3} -n_{2} }{n_{0} } {\rm =}\frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} {\rm +1}+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } $,\newline \\ \hline \textbf{}\textbf{МВИ} & ${\rm \; }P_{b} =\frac{Vh\nu _{21} }{2\sigma _{21} \tau _{21} l} \cdot \frac{\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)+0.5(\alpha _{13} +1)\ln (R_{1} R_{2} )}{1+\sqrt{R_{2} /R_{1} } (1-R_{1} )/(1-R_{2} )} $$\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} \ln (R_{1} /R_{2} )}{2\tau _{21} (2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} ))} \cdot } \\ {\times [(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)\frac{2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} )}{2\sigma _{21} n_{0} l} ]} \end{array}$\newline $T_{F} (c/n_{pr} )=\frac{2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} )}{2l} $\newline ${\rm \; }P_{b} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{2\tau _{21} T_{F} c/n_{pr} } [(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } ]$\newline $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b3} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{2\tau _{21} T_{F} c/n_{pr} } \times } \\ {[\alpha _{13} (1-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )-(1+\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{21} n_{0} } )]} \end{array}$ & ${\rm \; }P_{b} =\frac{Vh\nu _{32} }{\sigma _{32} \tau _{32} l} \cdot \frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha +0.5(\alpha +1)\ln (R_{1} R_{2} )}{1+\sqrt{R_{2} /R_{1} } (1-R_{1} )/(1-R_{2} )} $\newline $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} =\frac{n_{0} Vh\nu _{32} \ln (R_{1} /R_{2} )}{\tau _{32} (2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} ))} \cdot } \\ {\times [\alpha _{14} -(\alpha _{14} +1)\frac{2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} )}{2\sigma _{32} n_{0} l} ]} \end{array}$\newline $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} =\frac{n_{0} Vh\nu _{32} \ln (R_{1} /R_{2} )}{\tau _{32} (2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} ))} \cdot } \\ {\times [\alpha _{14} -(\alpha _{14} +1)\frac{2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} )}{2\sigma _{32} n_{0} l} ]} \end{array}$\newline \newline $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} _{4} =\frac{n_{0} Vh\nu _{32} }{\tau _{32} T_{F} (c/n_{pr} )} \cdot } \\ {\times [\alpha _{14} (1-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{32} n_{0} } )-\frac{T_{F} (c/n_{pr} )}{\sigma _{32} n_{0} } ]} \end{array}$\newline \newline \\ \hline \textbf{}\textbf{ПМВИ\newline }$\begin{array}{l} {R_{1} =1,} \\ {R_{2} =0,5} \end{array}$$\begin{array}{l} {\sigma _{21} n_{0} l} \\ {=4,8} \end{array}$,\newline $\begin{array}{l} {\sigma _{21} \tau _{21} } \\ {=10^{-28} } \end{array}$см${}^{-2}$c\newline $\beta l=0,36$\newline \textbf{} & \newline ${\rm \; }P_{b} =\frac{Vh\nu _{21} }{2\sigma _{21} \tau _{21} l} \cdot \frac{\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)}{72} $\newline ${\rm \; }P_{b} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{4\tau _{21} } [(0,84\alpha _{13} -1,16)]$\newline $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} \cdot [\frac{72\sigma _{21} \tau _{21} l}{Vh\nu _{21} } ]=0,5\cdot [\sigma _{21} n_{0} l(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]} \\ {\sigma _{21} n_{0} l=4,8} \\ {} \end{array}$\newline $P_{b} \cdot [\frac{72\sigma _{21} \tau _{21} l}{Vh\nu _{21} } ]=0,5\cdot [4,8(\alpha _{13} -1)-(\alpha _{13} +1)]$\newline $2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} =0,5\sigma _{21}^{} n_{0} Vh\nu _{21} [(0,84\alpha _{13} -1,16)]$\newline $2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} =2Vh\nu _{21} [(0,84\alpha _{13} -1,16)]$\newline $2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} =2[(0,84\alpha _{13} -1,16)]$ & \newline ${\rm \; }P_{b} =\frac{Vh\nu _{32} }{\sigma _{32} \tau _{32} l} \cdot \frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha -(\alpha +1)}{72} $\newline ${\rm \; }P_{b} =\frac{Vh\nu _{32} }{\sigma _{32} \tau _{32} l} \cdot \frac{\sigma _{32} n_{0} l\alpha -(\alpha +1)}{72} $\newline $\begin{array}{l} {{\rm \; }P_{b} =\frac{n_{0} Vh\nu _{32} \ln (R_{1} /R_{2} )}{\tau _{32} (2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} ))} \cdot } \\ {\times [\alpha _{14} -(\alpha _{14} +1)\frac{2\beta l-\ln (R_{1} R_{2} )}{2\sigma _{32} n_{0} l} ]} \end{array}$\newline $P_{b} \cdot [\frac{72\sigma _{21} \tau _{21} l}{Vh\nu _{21} } ]=[4,8\alpha _{13} -(\alpha _{13} +1)]$\newline \\ \hline \textbf{}\textbf{МСИ} & $P_{c21} =h\nu _{21} (n_{2} -n_{1} )V/\tau _{21} $ & $P_{c} _{32} =h\nu _{32} (n_{3} -n_{2} )V/\tau _{32} $ \\ \hline \textbf{}\textbf{МСИН} & $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} } \frac{\alpha _{13} }{\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } $\newline \newline $2\sigma _{21}^{} \tau _{21} E_{L0}^{2} \approx 0,5(\alpha _{14} -1)$\newline $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} \cdot } \frac{\alpha _{13} }{0,5(3\alpha _{13} +1)} $ & $\begin{array}{l} {P_{c} _{32} =\frac{Vh\nu _{32} n_{0} }{\tau _{32} } \times } \\ {\times \frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} (1+2\tau _{21} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )+1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } } \end{array}$\newline При условии $\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} =(0,8\alpha _{14} -1)$\newline \newline $\begin{array}{l} {P_{c} _{32} =\frac{Vh\nu _{32} n_{0} }{\tau _{32} } \times } \\ {\times \frac{\alpha _{14} }{\alpha _{14} (1+0.8(\alpha _{14} -1))+1+0.8\alpha _{14} -0.8} =} \\ {=\frac{Vh\nu _{32} n_{0} }{\tau _{32} } \times } \\ {\times \frac{\alpha _{14} }{0.8\alpha _{14}^{2} _{} +\alpha _{14} +0,1} =} \\ {=\frac{Vh\nu _{32} n_{0} }{\tau _{32} } \frac{\alpha _{14} }{0.8\alpha _{14}^{2} _{} +\alpha _{14} +0,1} } \end{array}$ \\ \hline \textbf{}\textbf{} & \newline & \newline \\ \hline \textbf{}\textbf{МСИН\newline } & $P_{c21} =\frac{Vh\nu _{21} n_{0} }{\tau _{21} \cdot } \frac{\alpha _{13} }{0,5(3\alpha _{13} +1)} $ & $P_{c} _{32} =\frac{Vh\nu _{32} n_{0} }{\tau _{32} } \frac{\alpha _{14} }{0.8\alpha _{14}^{2} _{} +\alpha _{14} +0,1} $ \\ \hline \textbf{}\textbf{МВИ} & ${\rm \; }P_{b21} =\frac{n_{0} Vh\nu _{21} }{4\tau _{21} } [(0,5\alpha _{13} -1,5)]$ & ${\rm \; }P_{b32} =\frac{n_{0} Vh\nu _{32} }{\tau _{32} } [(\alpha _{14} -1)]$ \\ \hline \textbf{}\textbf{ОСВ} & ${\rm \; }P_{c21} /P_{b21} =\frac{4\alpha _{13} }{0,5(3\alpha _{13} +1)(0,5\alpha _{13} -1,5)} $ & $P_{c} _{32} /P_{b32} =\frac{\alpha _{14} }{(\alpha _{14} -1)(0.8\alpha _{14}^{2} _{} +\alpha _{14} +0,1)} $ \\ \hline \textbf{}\textbf{\newline \newline } & ${\rm \; }P_{c21} /P_{b21} =\frac{4\alpha _{13} /\alpha _{13th} }{0,25(3\alpha _{13} /\alpha _{13th} +1)(\alpha _{13} /\alpha _{13th} -3)} $\newline Где \newline $\alpha _{13th} =3$\newline ${\rm \; }P_{c21} /P_{b21} =\frac{4\alpha _{13} /3}{0,25(\alpha _{13} +1)(\alpha _{13} /3-1)} $\newline & \\ \hline \end{tabular} \noindent \noindent \noindent mmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmmm \noindent Nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn \noindent nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn \noindent \noindent \textbf{и амплитуду} \[E_{0L} ^{2} {\rm =}G_{0} T_{0F} \frac{1}{2\sigma _{21}^{} T_{1} } \alpha _{12} -\frac{1}{2\sigma _{21}^{} T_{1} } \] \textbf{частоту и} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \omega _{\Gamma } {\rm =}\omega _{00} +\frac{T_{0F} \cdot (\pi \nu _{0F} -\omega _{00} )}{\alpha _{12} T_{1} G_{0} [0,3-0,1g_{00} \cdot (E_{L00} )^{2} ]} , \end{equation} Ча \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \omega _{\Gamma } {\rm =}\omega _{00} +\frac{(\pi \nu _{0F} -\omega _{00} )}{\alpha _{12} T_{1} G_{0} [0,3-0,1\cdot (T_{0F} G_{0} \alpha _{12} -1)]} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \omega _{\Gamma } {\rm =}\omega _{00} +\frac{(\pi \nu _{0F} -\omega _{00} )}{0,1\cdot \alpha _{12} T_{1} G_{0} [2-T_{0F} G_{0} \alpha _{12} ]} , \end{equation} \noindent \textbf{амплитуду } \noindent \textbf{частоту и} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \omega _{\Gamma } {\rm =}\omega _{00} +\frac{T_{0F} \cdot (\pi \nu _{0F} -\omega _{00} )}{\alpha _{12} T_{1} G_{0} [0,3-0,1\cdot (T_{0F} G_{0} \alpha _{12} -2T_{1} \sigma _{21}^{} )]} , \end{equation} \textbf{Вывод ЧМ модуляция может быть существенно скомпенсирована выбором нелинейности и рабочей точки.} \noindent \textbf{ Второе приближение} \[\begin{array}{l} {N_{ReL0} E_{L00} =\alpha _{12} [1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]\frac{E_{L00} }{[(\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } \approx } \\ {\approx \alpha _{12} \frac{E_{L00} }{[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]} } \end{array}\] П $N_{ImL0} E_{L00} =\alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]\frac{E_{L00} }{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } $ \noindent ри этом получим два уравнения \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}\frac{G_{0} \alpha _{12} [1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]}{[(\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } -\frac{1}{T_{0F} } , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} ){\rm +}\frac{1}{T_{0F} } G_{0} \alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} ]\frac{1}{[(\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } , \end{equation} ри этом \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} ){\rm +}\frac{1}{T_{0F} } G_{0} \alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} ]\frac{1}{[(\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } , \end{equation} ри этом \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} [(\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +\frac{G_{0} \alpha _{12} }{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } [(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} ]+[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} =0, \end{equation} ри этом \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )=\frac{-\frac{G_{0} \alpha _{12} }{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } \pm \sqrt{(\frac{G_{0} \alpha _{12} }{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } )^{2} -4[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } }{2T_{1} } , \end{equation} \[E_{0L} ^{2} {\rm =(}1/g_{00} )T_{0F} G_{0} \alpha _{12} -1/g_{00} \] \[E_{0L} ^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} }{2\sigma _{21}^{} T_{1} } (G_{0} \alpha _{12} -1)\] \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )=\frac{-\frac{G_{0} \alpha _{12} }{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } \pm \sqrt{(\frac{G_{0} \alpha _{12} }{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } )^{2} -4[T_{0F} G_{0} \alpha _{12} ]^{2} } }{2T_{1} } , \end{equation} \noindent ри этом \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )=\frac{-\frac{G_{0} \alpha _{12} }{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } \pm \sqrt{(\frac{G_{0} \alpha _{12} }{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } )^{2} -4[G_{0} \alpha _{12} ]^{2} } }{2T_{1} } , \end{equation} ри этом \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (\omega _{\Gamma } -\omega _{00} )=G_{0} \alpha _{12} \frac{-\frac{1}{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } \pm \sqrt{(\frac{1}{{\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } )^{2} -4} }{2T_{1} } , \end{equation} \textbf{Вывод 1)под радикалом должно выполняться условие }$\left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )(4\pi T_{0F} )\right|<1$\textbf{. } \noindent \textbf{С точки зрения ЧМ при изменении накачки }$\alpha _{12} $\textbf{выражение в занменателе должно быть как можно больше То есть }$0,95...0,99<\left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )(4\pi T_{0F} )\right|<1$\textbf{} \noindent \textbf{Формула} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \omega _{\Gamma } =\omega _{00} -G_{0} \alpha _{12} \frac{1}{4\pi (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} T_{1} } , \end{equation} \textbf{Следует, что при условии }$0,95...0,99<\left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )(4\pi T_{0F} )\right|<1$ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} \alpha _{120} } =\frac{\Delta \alpha _{12} }{\alpha _{120} } \frac{G_{0} }{\omega _{\Gamma 0} T_{1} \cdot 4\pi \cdot (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } , \end{equation} \textbf{} \noindent \textbf{2)При этом паразитная ЧМ модуляция}$\frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} } $\textbf{, тем меньше , больше }$T_{1} $\textbf{о}$\omega _{\Gamma 0} $\textbf{ни и меньше}$G_{0} $\textbf{о или меньше отношение}$\frac{\Delta \alpha _{12} }{\alpha _{120} } \frac{G_{0} }{\omega _{\Gamma 0} T_{1} \cdot 4\pi \cdot (\nu _{0F} -\nu _{00} )T_{0F} } $\textbf{} \noindent \textbf{Пусть}$4\pi T_{0F} \left|(\nu _{0F} -\nu _{00} )\right|=0,99$\textbf{ь}$\alpha _{120} =10$\textbf{,}$T_{1} =10^{-9} $\textbf{ }$G_{0} =10$\textbf{ то}$\omega _{\Gamma 0} =6\cdot 2\cdot 10^{14} $\textbf{рад/сек да}$\Delta \alpha _{12} /\alpha _{120} =0,01$\textbf{и} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} \alpha _{120} } =0,01\frac{10}{6\cdot 2\cdot 10^{14} 10^{-9} \cdot 0,99} \approx 0,01\frac{10}{6\cdot 2\cdot 10^{5} } =10^{-7} , \end{equation} $\frac{\Delta \omega _{\Gamma } }{\omega _{\Gamma 0} } \approx 10^{-6} $, или $\Delta \nu _{\Gamma } \approx 10^{-6} \nu _{\Gamma 0} =10^{-6} 2\cdot 10^{14} =2\cdot 10^{8} =200$ МГц \eqref{GrindEQ__2_3_7_} С низить на несколько порядков \noindent \textbf{} \noindent \noindent \noindent Р \noindent , \eqref{GrindEQ__2_3_7_} \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent ююююююююююююююююююююююююююююююююю \noindent \noindent \noindent Подчеркнем особенности данной системы уравнений для определения частоты генерации и фазовых шумов. Основным отличием системы является то, что уравнения для оптической фазы зависят от квадрата амплитуды $(E_{L00} )^{2} $ и от накачки $\alpha _{12} $, в общем случае, имеющее переменную гармоническую составляющую на частоте близкой к частоте электронного фильтра ОЭГ. \noindent Коэффициент девиации фазы при изменении накачки и квадрата амплитуды $(E_{L00} )^{2} $ по гармоническому закону определяется в третьем уравнении вторым и третьим членом, и зависит от произведения $(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )(T_{1} /T_{0F} )G_{0} $ . Учитывая, что в ОЭГ с ПАМ выполняется соотношение $\alpha _{12} =K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} $ , после линеаризация системы уравнений, как показано в главе 5, было получено уравнение для частоты и амплитуды колебаний на оптическом и электрическом выходах ОЭГ. \noindent \noindent \textbf{Фазовые шумы лазера КЛД. Теория.} \noindent \noindent \noindent \noindent \textbf{Уравнения для ОЭГ с ПАМ, в главе 5 } \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \frac{dE_{L00} }{dt} {\rm =}G_{0} N_{ReL0} E_{L00} -\frac{1}{T_{0F} } E_{L00} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }\frac{dN_{0L} }{dt} {\rm =}\alpha _{L00} +K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} -(1/T_{1} )N_{0L} -G_{0} N_{0L} \cdot E_{00L}^{2} , \end{equation} $\frac{d\Phi _{L} }{dt} {\rm =}({\rm 2}\pi \nu _{0F} -\omega _{00} ){\rm +}0,3\frac{(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} }{T_{0F} } G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} -0,1\frac{(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} }{T_{0F} } G_{0} g_{00} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{4} $, в \noindent Необходимо дополнить четвертым уравнением \noindent $\alpha _{12} =\alpha _{L00} +K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} $ и и \noindent и$N_{ReL0} E_{L00} =\alpha _{12} E_{L00} -0,3\alpha _{12} g_{00} (E_{L00} )^{3} $ \noindent ыпоЗдесь под понимаются линеаризованные параметры для медленноменяющих амплитуды, и фазы первой гармоникиапл \noindent \eqref{GrindEQ__2_3_7_} \noindent Для стационарного режима генерации ОЭГ из данной системы найдеам стац частоту и амплитуду \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}G_{0} (0,3(\omega _{00} -\omega )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} E_{L00} -0,1(\omega _{00} -\omega )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} g_{00} (E_{L00} )^{3} )-(1/T_{0F} )E_{L00} , \end{equation} $0{\rm =}({\rm 2}\pi \nu _{0F} -\omega _{00} ){\rm +}0,3\frac{(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} }{T_{0F} } G_{0} \cdot (\alpha _{L00} +K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} )-0,1\frac{(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} }{T_{0F} } G_{0} g_{00} K_{BZ} \cdot (\alpha _{L00} +K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} )^{2} $, в \noindent Д приближение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}G_{0} (0,3(\omega _{00} -\omega )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} E_{L00} -0,1(\omega _{00} -\omega )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} g_{00} (E_{L00} )^{3} )-(1/T_{0F} )E_{L00} , \end{equation} $0{\rm =}({\rm 2}\pi \nu _{0F} -\omega _{00} ){\rm +}0,3\frac{(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} }{T_{0F} } G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} $, в \noindent Д приближение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}G_{0} (0,3(\omega _{00} -\omega )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} E_{L00} -0,1(\omega _{00} -\omega )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} g_{00} (E_{L00} )^{3} )-(1/T_{0F} )E_{L00} , \end{equation} $(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } ){\rm =}\frac{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} }{0,3G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot T_{1} (E_{L00} )^{2} } $, в \noindent Д приближение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}G_{0} (0,3\frac{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} }{0,3G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot T_{1} (E_{L00} )^{2} } T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} E_{L00} -0,1\frac{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} }{0,3G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot T_{1} (E_{L00} )^{2} } T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} g_{00} (E_{L00} )^{3} )-(1/T_{0F} )E_{L00} , \end{equation} $(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } ){\rm =}\frac{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} }{0,3G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot T_{1} (E_{L00} )^{2} } $, в \noindent Д приближение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}G_{0} 0,3\frac{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} }{0,3G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot T_{1} (E_{L00} )^{2} } T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} -0,1G_{0} \frac{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} }{0,3G_{0} \cdot K_{BZ} \cdot T_{1} (E_{L00} )^{2} } T_{1} K_{BZ} \cdot g_{00} (E_{L00} )^{4} -(1/T_{0F} ), \end{equation} Д приближение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} -0,1\frac{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} }{0,3\cdot } \cdot g_{00} (E_{L00} )^{2} -(1/T_{0F} ), \end{equation} Д приближение \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (E_{L00} )^{2} {\rm =}\frac{0,3(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )T_{0F} -(1/T_{0F} )}{0,1g_{00} T_{0F} (\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )} =\frac{0,3}{0,1g_{00} } (1-\frac{1}{T_{0F} T_{0F} (\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )} ), \end{equation} \noindent \noindent \noindent ва уравнения \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} 0,1\cdot g_{00} (E_{L00} )^{4} -0,3\cdot (E_{L00} )^{2} {\rm +}(1/(G_{0} (\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} K_{BZ} T_{0F} )0{\rm =0}, \end{equation} \[0,1g_{00} (E_{L00} )^{4} -0,3\cdot (E_{L00} )^{2} -{\rm 1/(}\frac{T_{1} }{T_{0F} } G_{0} \cdot K_{BZ} {\rm )=}0\] Два уравнения \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} 0,1\cdot g_{00} (E_{L00} )^{4} -0,3\cdot (E_{L00} )^{2} {\rm +}(1/(G_{0} (\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} K_{BZ} T_{0F} )0{\rm =0}, \end{equation} Из второго \[(E_{L00} )^{2} =\frac{0,3\mp \sqrt{0,9+4\cdot 0,1g_{00} \cdot {\rm 1/((}T_{1} /T_{0F} )G_{0} \cdot K_{BZ} {\rm )}} }{2\cdot 0,1g_{00} } \] Подставим в первое \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \begin{array}{l} {0,1\cdot g_{00} (\frac{0,3+\sqrt{0,9+4\cdot 0,1g_{00} \cdot {\rm 1/((}T_{1} /T_{0F} )G_{0} \cdot K_{BZ} {\rm )}} }{2\cdot 0,1g_{00} } )^{2} -} \\ {-0,3\cdot (\frac{0,3+\sqrt{0,9+4\cdot 0,1g_{00} \cdot {\rm 1/((}T_{1} /T_{0F} )G_{0} \cdot K_{BZ} {\rm )}} }{2\cdot 0,1g_{00} } ){\rm +}(1/(G_{0} (\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} K_{BZ} T_{0F} )0{\rm =0}} \end{array}, \end{equation} \noindent Подставим в первое $(E_{L00} )^{2} =\frac{0,3\mp \sqrt{0,9+4\cdot 0,1g_{00} \cdot {\rm 1/((}T_{1} /T_{0F} )G_{0} \cdot K_{BZ} {\rm )}} }{2\cdot 0,1g_{00} } $ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \begin{array}{l} {{\rm +}(1/(G_{0} (\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} K_{BZ} T_{0F} ){\rm =}0,3\cdot (\frac{0,3}{2\cdot 0,1g_{00} } )-} \\ {-0,1\cdot g_{00} (\frac{0,3+\sqrt{0,9+4\cdot 0,1g_{00} \cdot {\rm 1/((}T_{1} /T_{0F} )G_{0} \cdot K_{BZ} {\rm )}} }{2\cdot 0,1g_{00} } )^{2} } \end{array}, \end{equation} Подставим в первое \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} (\omega _{00} -\omega _{\Gamma } ){\rm =}\frac{(1/(G_{0} T_{1} K_{BZ} T_{0F} )}{\{ 0,3\cdot (\frac{0,3}{2\cdot 0,1g_{00} } )-0,1\cdot g_{00} (\frac{0,3+\sqrt{0,9+4\cdot 0,1g_{00} \cdot {\rm 1/((}T_{1} /T_{0F} )G_{0} \cdot K_{BZ} {\rm )}} }{2\cdot 0,1g_{00} } )^{2} \} } ^{-1} , \end{equation} \noindent ля стационарного режима генерации ОЭГ из данной системы найдеам стац частоту и амплитуду в установившемся режиме генерации \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm 0=}G_{0} (0,3(\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{2} -0,1G_{0} (\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} K_{BZ} \cdot (E_{L00} )^{4} g_{00} -(1/T_{0F} ), \end{equation} \noindent в \noindent Для стационарного режима генерации ОЭГ из данной системы найдеам стац частоту и амплитуду в установившемся режиме генерации \noindent , \eqref{GrindEQ__2_3_7_} \noindent , в \noindent , \eqref{GrindEQ__2_3_7_} \noindent \noindent \noindent {\dots}, \eqref{GrindEQ__2_3_7_} \noindent {\dots}$\frac{1}{(\omega _{00} -{\rm 2}\pi \nu _{0F} )} =\frac{T_{0F} \left|K_{BZ} \right|T_{0F} )}{K_{BZ} } $ \noindent Далее последнее выражение \[\omega _{\Gamma } ={\rm 2}\pi \nu _{0F} +\frac{K_{ImBZ} }{T_{0F} \left|K_{BZ} \right|T_{0F} } \] {\dots}$(E_{L00} )^{2} \approx \frac{1}{0,3G_{0} (\omega _{00} -\omega _{\Gamma } )T_{1} \left|K_{ReBZ} \right|T_{0F} )} $, \eqref{GrindEQ__2_3_7_} \noindent {\dots}{\dots}{\dots}{\dots} \noindent \noindent Далее последнее выражение разложим в ряд по переменной $x=E_{n} $ в точке стационарного режима и удержим члены для переменной первой гамонике введя обозначения \noindent \includegraphics*[width=1.74in, height=0.26in, keepaspectratio=false]{image31}$(j\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} =-B_{11} $$(j\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} =-B_{11} $ \noindent \includegraphics*[width=2.53in, height=0.47in, keepaspectratio=false]{image32}${\rm (}(j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} =C_{11} $${\rm (}(j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} =C_{11} $ \[j\Delta \omega +(1/T_{1} )=A_{11} \] Тогда \[\begin{array}{l} {S_{NY} R_{Y} \cdot (j\Delta \omega )E_{n} =(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} (j\Delta \omega )\frac{x}{(A_{11} +B_{11} C_{11}^{-1} x^{2} )} =} \\ {=(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} (j\Delta \omega )(\frac{x}{A_{11} } -\frac{(B_{11} C_{11}^{-1} )^{2} x^{3} }{A_{11} } +O(x^{5} ))} \end{array}\] где $O(x^{5} )$- остаточный член разложения, которым пренебрежем. Разложим последнее выражение на действительную и мнимую части \noindent \noindent \noindent {\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots} \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} \begin{array}{l} {{\rm \; }N{\rm =}N_{ReL0} {\rm +}jN_{ReL0} {\rm =}\frac{\alpha _{12} }{j(\omega -\omega _{00} )T_{1} +1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} } =} \\ {=\frac{\alpha _{12} [j(\omega -\omega _{00} )T_{1} -1-g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]}{-[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} -[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } =\frac{\alpha _{12} [j(\omega _{00} -\omega )T_{1} +1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]}{+[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } =} \\ {=\frac{\alpha _{12} [1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]}{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } +j\frac{\alpha _{12} [(\omega _{00} -\omega )T_{1} ]}{[(\omega -\omega _{00} )T_{1} ]^{2} +[1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} ]^{2} } +} \end{array}, \end{equation} \[{\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1}){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =[}(j\omega _{00} )^{2} +2j\omega _{00} \Delta \omega +(\Delta \omega )^{2} ]A_{NE1} B_{NE1} \frac{\alpha _{12} }{j(\Delta \omega )T_{1} +1+g_{00} \cdot E_{0L} ^{2} } E_{L0} \] \[{\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1}){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] \noindent \noindent \noindent Рассмотрим второе уравнение вблизи частоты генерации, учтем ,что $T_{1} >>T_{2} $ , произведем линеаризацию произведения во $NE_{n} $ в точке стационарного режима генерации \[NE_{n} \approx N_{0} \cdot e_{n} +n\cdot E_{0n} +N_{0} \cdot E_{0n} \approx n\cdot E_{0n} +N_{0} \cdot E_{0n} \] pppppppppppppp \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }j(\omega -\omega _{00} )n{\rm =}\alpha _{N} -(1/T_{1} )n-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} n\cdot E_{0L} E_{0L} ), \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }n{\rm =}\frac{\alpha _{N} T_{1} }{j(\omega -\omega _{00} )T_{1} +1+T_{1} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{-2} \cdot E_{0L} E_{0L} } , \end{equation} \noindent У \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )E_{n} {\rm =}\omega ^{2} A_{NE1} B_{NE1} n\cdot E_{0n} , \end{equation} \noindent У \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \begin{array}{l} {{\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =}\omega ^{2} A_{NE1} B_{NE1} \frac{\alpha _{N} T_{1} }{j(\omega -\omega _{00} )T_{1} +1+T_{1} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{-2} \cdot E_{0L} E_{0L} } \cdot E_{0n} } \end{array}, \end{equation} Уили \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} \begin{array}{l} {{\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )e_{L} {\rm =}} \\ {{\rm =}A_{NE1} B_{NE1} \frac{\alpha _{N} T_{1} }{j(\omega -\omega _{00} )T_{1} +1+T_{1} \sigma _{21} \cdot E_{0L} E_{0L} } \cdot pe_{L} } \end{array}, \end{equation} \noindent \noindent Тогда для , заменяя $p=j\omega _{}^{} +j\Delta \omega $за \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }N{\rm =}\frac{\alpha _{N0} }{[j\omega _{}^{} +j\Delta \omega +(1/T_{1} )-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} \frac{1}{{\rm (}j\omega _{12}^{} +j\Delta \omega )_{}^{2} +\frac{1}{T_{2} } j\omega _{}^{} +j\Delta \omega {\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} E_{n} E_{n} {\rm ]}} , \end{equation} \noindent {\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}{\dots}.. \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }pN{\rm =}\alpha _{N0} -(1/T_{1} )N+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} (N_{0} \cdot e_{n} +n\cdot E_{0n} +N_{0} \cdot E_{0n} )]E_{n} , (2.3.8), \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }p(N_{0} +n){\rm =}\alpha _{N0} -(1/T_{1} )(N_{0} +n)+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} (N_{0} \cdot e_{L} +n\cdot E_{0} +N_{0} \cdot E_{0} )](e_{L} +E_{0} ), \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )(e_{L} +E_{0} ){\rm =}-A_{NE1} B_{NE1} p(N_{0} \cdot e_{L} +n\cdot E_{0n} +N_{0} \cdot E_{0n} ), \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }pn{\rm =}\alpha _{N0} -(1/T_{1} )(N_{0} +n)+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} (N_{0} \cdot e_{L} +n\cdot E_{0} +N_{0} \cdot E_{0} )](e_{L} +E_{0} ), \end{equation} ,считая $NE_{n} \approx n\cdot E_{0n} +N_{0} \cdot E_{0n} $ \eqref{GrindEQ__2_3_8_} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} \begin{array}{l} {{\rm \; }pn{\rm =}\alpha _{N0} +\alpha _{N} -(1/T_{1} )N_{0} -(1/T_{1} )n+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} (N_{0} \cdot e_{L} +n\cdot E_{0} )](e_{L} +E_{0} )+} \\ {+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} \frac{1}{{\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} N_{0} \cdot E_{0} (e_{L} +E_{0} )} \end{array}, \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }pn{\rm =}\alpha _{N} -(1/T_{1} )n+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} (N_{0} \cdot e_{L} +n\cdot E_{0} )]e_{L} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }j(\omega -\omega _{00} )n{\rm =}\alpha _{N} -(1/T_{1} )n-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} n\cdot E_{0L} E_{0L} ), \end{equation} \noindent Уравнение стац режима при генерации ($p=0$) \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm \; ((2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )E_{0} {\rm =}-\omega ^{2} A_{NE1} B_{NE1} N_{0} \cdot E_{0n} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm \; ((2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} ){\rm =}-\omega ^{2} A_{NE1} B_{NE1} N_{0} , \end{equation} ббббббббббббббббб \noindent Выражаем $E_{0} $ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }0{\rm =}\alpha _{N0} -(1/T_{1} )(N_{0} )-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} \frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} } N_{0} \cdot E_{0} ^{2} , \end{equation} исходные \noindent Лиенеризованные уравнения \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )e_{L} {\rm =}-A_{NE1} B_{NE1} N_{0} pe_{L} , \end{equation} Или Лиенеризованные уравнения \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_7_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )e_{L} {\rm =}-A_{NE1} B_{NE1} N_{0} pe_{L} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_8_} {\rm \; }p(N_{0} +n){\rm =}\alpha _{N0} -(1/T_{1} )(N_{0} +n)-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} [\frac{1}{{\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )} (N_{0} \cdot e_{L} +n\cdot E_{0} +N_{0} \cdot E_{0} )](e_{L} +E_{0} ), \end{equation} \noindent \textbf{Укороченные уравнения лазера в дипольном приближении с учетом спонтанного излучения (СИ)} \noindent Проведем процесс укорочения символического уравнения по Евтянову и Кулешову [Радиотехника и электроника,1961г] \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )E_{n} {\rm =}S_{NY} R_{Y} pE_{n} , \end{equation} где \[S_{NY} R_{Y} =(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} \{ p+(1/T_{1} )-p^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} E_{n}^{2} {\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} \} ^{-1} , \] в котором для $R_{Y} =(1/(\varepsilon _{n} \hbar ))$ \noindent Уравнение \eqref{GrindEQ__2_3_10_} рассматривалось авторами [Смольский, Кулешов]в теории колебаний, и поэтому решение его известно при знании укороченного выражения для $S_{NY} R_{Y} $. \noindent \noindent \textbf{Процесс укорочения уравнения} и $S_{NY} R_{Y} $. Введем некоторую опорную частоту колебаний лазера $\nu _{0} $. При этом выполняются соотношения: \[E=E_{L0} \exp (j(2\pi \nu _{0} +\Phi _{L} ))=E_{L0} \exp (j\Phi _{L} )\exp (j2\pi \nu _{0} ) ,\] где $E_{L} =E_{L0} \exp (j\Phi _{L} )$.Здесь$E_{L0} $,стационарная амплитуда напряженности э-м поля,$\Phi _{L} $- фазовый сдвиг или стационарная разность фаз между автоколебанием с частотой , которая может быть постоянной или линейной функцией времени $t$: \[\Phi _{L} =\varphi _{L} =\Delta \omega t+\Phi _{L0} \] Имеется разница между частотой автоколебания лазера$\Delta \omega $ ,где $\Delta \omega $-поправка на частоту, а $\Phi _{L0} $- постоянный фазовый сдвиг. \noindent Пусть возможный фазовый сдвиг фаз между автоколебанием на некоторой опорной частоте $\nu _{0} $: \[E=E_{L0} \cos (2\pi \nu _{0} t+\Delta \omega t+\Phi _{L0} ),\] где$E_{L0} $,$\varphi _{L} $- медленно меняющиеся амплитуда д и медленно меняющиеся фаза первой гармоники $E(t)$. \noindent Перейдем к операторной форме $d/dt=p_{1} +j\Delta \omega $ \noindent где \[\begin{array}{l} {S_{NY} R_{Y} (p_{1} +j\Delta \omega )E_{n} =(p_{1} +j\Delta \omega )E_{n} (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} \{ p_{1} +j\Delta \omega +(1/T_{1} )-} \\ {-(p_{1} +j\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} E_{n}^{2} {\rm (}(p_{1} +j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (p_{1} +j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} \} ^{-1} } \end{array} , \] в последнем уравнении положим$p_{1} =0$ и получим $S_{NY} R_{Y} $для стационарного режима \[\begin{array}{l} {S_{NY} R_{Y} (j\Delta \omega )E_{n} =(j\Delta \omega )E_{n} (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} \{ j\Delta \omega +(1/T_{1} )-} \\ {-(j\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} E_{n}^{2} \cdot {\rm (}(j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} \} ^{-1} } \end{array} , \] Далее последнее выражение разложим в ряд по переменной $x=E_{n} $ в точке стационарного режима и удержим члены для переменной первой гамонике введя обозначения \noindent \includegraphics*[width=1.74in, height=0.26in, keepaspectratio=false]{image33}$(j\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} =-B_{11} $$(j\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} =-B_{11} $ \noindent \includegraphics*[width=2.53in, height=0.47in, keepaspectratio=false]{image34}${\rm (}(j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} =C_{11} $${\rm (}(j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{-1} =C_{11} $ \[j\Delta \omega +(1/T_{1} )=A_{11} \] Тогда \[\begin{array}{l} {S_{NY} R_{Y} \cdot (j\Delta \omega )E_{n} =(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} (j\Delta \omega )\frac{x}{(A_{11} +B_{11} C_{11}^{-1} x^{2} )} =} \\ {=(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} (j\Delta \omega )(\frac{x}{A_{11} } -\frac{(B_{11} C_{11}^{-1} )^{2} x^{3} }{A_{11} } +O(x^{5} ))} \end{array}\] где $O(x^{5} )$- остаточный член разложения, которым пренебрежем. Разложим последнее выражение на действительную и мнимую части \[S_{NY} R_{Y} \cdot (j\Delta \omega )E_{n} =(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\alpha _{N0} \frac{(j\Delta \omega )}{j\Delta \omega +(1/T_{1} )} (x-(B_{11} C_{11}^{-1} )^{2} x^{3} )\] \[(B_{11} C_{11}^{-1} )^{2} =\frac{((j\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} )^{2} }{{\rm (}j(\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{2} } =\frac{((\Delta \omega )^{2} (1/\hbar )\cdot B_{NE1} )^{2} }{{\rm (}-(\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )^{2} } \] показать А \[S_{NY} R_{Y} \cdot (j\Delta \omega )E_{n} =\frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } \{ E_{n} -(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))^{2} K_{P2}^{2} E_{n} ^{3} \} \] где \[K_{P2}^{2} =\frac{((\Delta \omega )^{2} }{{\rm ((2}\pi (\nu _{12} -\nu _{0} ))_{}^{2} -(\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } (j\Delta \omega ))^{2} } \] при ${\rm ((2}\pi (\nu _{12} -\nu _{0} ))_{}^{2} \approx (\Delta \omega )^{2} $получаем $K_{P2}^{2} \approx T_{2} ^{2} $и учитывая это \noindent Делая замену $E_{n} $ на $E=E_{L0} \cos (2\pi \nu _{0} t+\Delta \omega t+\Phi _{L0} )$н $\beta _{03} =(2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))^{2} K_{P2}^{2} $ \noindent \textit{Можем перейти к формуле, используя формулы тригонометрии,} \[S_{NY} R_{Y} \cdot (j\Delta \omega )E_{n} =\frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\cos (2\pi \nu _{0} t+\Delta \omega t+\Phi _{L0} )\] Из которой следует выражение для «укороченного» значения крутизны не \[S_{0NY} R_{Y} \cdot (j\Delta \omega )E_{L0} =\frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] pppppppppppppp \noindent 1)Рассмотрим уравнение лазера для одномодового и одночастотного КЛД с традиционным оптическим резонатором (сколотыми гранями кристалла КЛД длиной примерно 300 мкм) \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )E_{n} {\rm =}S_{NY} R_{Y} pE_{n} , \end{equation} случай КЛД $T_{0F} \approx T_{2} $ \noindent Запишем уравнение в виде в котором для $R_{Y} =(1/(\varepsilon _{n} \hbar ))$ \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \; (}p^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )\frac{1}{R_{Y} p} E_{n} {\rm =}S_{NY} E_{n} , \end{equation} Или вв идее \noindent Уравнения \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; \{ }(p)^{4} {\rm +(}\frac{1}{T_{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } )p^{3} {\rm +[(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } {\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ]p^{2} } \\ {{\rm +[}\frac{1}{T_{0F} } {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ]p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} \} E_{n} {\rm =}S_{NY0} R_{Y} \cdot pE_{L0} } \end{array}, \end{equation} \noindent Б \noindent \noindent Введем обозначение для левой части уравнения, в согласи с теорией для традиционных АГ, как «проводимость» КЛД \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \; }y(p){\rm =(}p^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{0F} } p{\rm +(2}\pi \nu _{0F} )_{}^{2} ){\rm (}p^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{2} } p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )\frac{1}{R_{Y} p} , \end{equation} Проведем процесс укорочения уравнения вблизи опорной частоты${\rm 2}\pi \nu _{0F} $ чзаменяем $p=j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega $ич$j\Delta \omega =p_{1} $ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; }y(j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm =((}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{0F} } {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )\times } \\ {\times {\rm ((}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega )^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{2} } {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )\frac{1}{R_{Y} {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega )} } \end{array} , \end{equation} Г , \eqref{GrindEQ__2_3_10_} \noindent Г$\begin{array}{l} {{\rm \; }y(j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm =(}-2{\rm (2}\pi \nu _{0F} )\Delta \omega {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} ))\times } \\ {\times {\rm ((}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega _{2} )^{2} {\rm +}\frac{2}{T_{2} } {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )\frac{1}{R_{Y} {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega )} } \end{array}$ , \eqref{GrindEQ__2_3_10_} \noindent Г \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; }y(j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm =}j{\rm (2}\pi \nu _{0F} ){\rm (}j2\Delta \omega {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } )\times } \\ {\times {\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0F} )^{2} -2{\rm (2}\pi \nu _{0F} )(\Delta \omega ){\rm +}\frac{1}{T_{2} } {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} ))\frac{1}{R_{Y} {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega )} } \end{array} , \end{equation} Р \noindent Г \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; }y(j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm =}j{\rm (2}\pi \nu _{0F} ){\rm (}j2\Delta \omega {\rm +}\frac{2}{T_{0F} } )\times } \\ {\times {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} ){\rm (}\frac{{\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0F} )^{2} }{{\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} )} {\rm +}2j(\Delta \omega ){\rm +}\frac{2}{T_{2} } )\frac{1}{R_{Y} {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega )} } \end{array} , \end{equation} \noindent Г Г \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; }y(j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm =}j2{\rm (2}\pi \nu _{0F} ){\rm (}j\Delta \omega {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } )\times } \\ {\times 2{\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} ){\rm (}j\frac{{\rm (2}\pi \nu _{0F} )-{\rm (2}\pi \nu _{12} )}{1} {\rm +}j(\Delta \omega ){\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{R_{Y} {\rm (}j{\rm 2}\pi \nu _{0F} )} } \end{array} , \end{equation} Г Г ИТОГО \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \; }y(j{\rm 2}\pi \nu _{0F} +j\Delta \omega ){\rm =4}\frac{j{\rm (2}\pi \nu _{0F} )}{R_{Y} T_{0F} T_{2} } {\rm (}j\Delta \omega T_{0F} {\rm +1}){\rm (}j\Delta \omega T_{2} {\rm +1+}jT_{2} \frac{{\rm (2}\pi \nu _{0F} )-{\rm (2}\pi \nu _{12} )}{1} ) , \end{equation} Г Г ИТОГО укороченная проводимость ч$j\Delta \omega =p_{1} $ \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \; }y(p_{1} ){\rm =4}\frac{j{\rm (2}\pi \nu _{0F} )}{R_{Y} T_{0F} T_{2} } {\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1}){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} )) , \end{equation} Укороченное уравнение \[{\rm 4}\frac{j{\rm (2}\pi \nu _{0F} )}{T_{0F} T_{2} } {\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1}){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}S_{NY0} R_{Y} E_{n} \] Д где \[E_{n} =E_{L0} \exp (j\varphi ) S_{0NY} R_{Y} \cdot E_{L0} =-j\frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] $S_{NY0} $ Из которой следует выражение для «укороченного \[{\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1}){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] Из которой следует выражение для «укороченного \[\begin{array}{l} {{\rm (}p_{1} ^{2} T_{0F} T_{2} {\rm +}(T_{0F} {\rm +}T_{2} {\rm )}p_{1} {\rm +}p_{1} T_{0F} jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ){\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )} \end{array}\] Из которой следует разделяя на два уравнения \[{\rm (}p_{1} ^{2} T_{0F} T_{2} {\rm +}(T_{0F} {\rm +}T_{2} {\rm )}p_{1} {\rm +1})E_{n} {\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\Delta \omega }{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] \[{\rm (}p_{1} T_{0F} T_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ){\rm +}T_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(1/T_{1} )}{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] Из которой следует разделяя на два уравнения \[{\rm (}T_{0F} T_{2} p_{1} ^{2} {\rm +}(T_{0F} {\rm +}T_{2} {\rm )}p_{1} {\rm +1})E_{L0} {\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\Delta \omega }{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] \[{\rm (}p_{1} T_{0F} T_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ){\rm +}T_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(1/T_{1} )}{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] ля различных систем накачки \noindent Из которой следует разделяя на два уравнения \[{\rm (}(T_{0F} {\rm +}T_{2} {\rm )}\frac{d}{dt} E_{n} {\rm +}E_{n} ){\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))\Delta \omega }{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] \[{\rm (}T_{0F} T_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} )\frac{d}{dt} E_{n} {\rm +}T_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} )E_{n} ){\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(1/T_{1} )}{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] ля различных систем накачки \noindent \textbf{ЧАСТНЫЙ СЛУЧАЙ }$T_{0F} >>T_{2} $\textbf{} \noindent При $T_{0F} >>T_{2} $Тогда уравнение \[{\rm (}p_{1} T_{0F} {\rm +1}){\rm (}p_{1} T_{2} {\rm +1+}jT_{2} {\rm 2}\pi (\nu _{0F} -\nu _{12} ))E_{n} {\rm =}-\frac{T_{0F} T_{2} \alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{{\rm 4(2}\pi \nu _{0F} )[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]} (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] Уравнение \begin{enumerate} \item 3 --уровневая схема накачки КЛД \[n_{2} -n_{1} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{\tau _{21} p+\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } \] \item 4 --уровневая схема накачки КЛД \[{\rm \; }n_{3} -n_{2} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{14} }{\tau _{32} p+\alpha _{14} +(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )E_{L0}^{2} } \] \item ЛД на объемном кристалле(2-х уровневое приближение) \[n_{2} -n_{1} {\rm =}n_{0} \frac{\alpha _{21} }{\tau _{21} p+1+0,2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } {\rm \; },\] \end{enumerate} \noindent \noindent ================================================= \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; \{ }2{\rm [}\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } ]]j\Delta \omega {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{3} {\rm +[}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } ](\omega _{0} )^{4} {\rm +}} \\ {{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} \} E_{n} {\rm =}S_{NY0} R_{Y} \cdot p_{2} E_{L0} \exp (j\varphi )} \end{array}, \end{equation} \noindent задачи. \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{j\Delta \omega }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} S_{NY0} R_{Y} \cdot (j\omega _{0} +j\Delta \omega )E_{L0} , \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{j\Delta \omega }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} (j\omega _{0} +j\Delta \omega )E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\exp (j\varphi )} \end{array}, \end{equation} \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{j\Delta \omega }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} [-(1/T_{1} )(\omega _{0} -\Delta \omega )+j\Delta \omega (\omega _{0} +(\Delta \omega ))]E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )} \end{array}, \end{equation} \[2)\] \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{p_{2}^{} }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =}[p_{2}^{} -(1/T_{1} )]{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \omega _{0} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )} \end{array}, \end{equation} \[{\rm D}_{000} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \omega _{0} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{p_{2}^{} }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =}[p_{2}^{} -(1/T_{1} )]{\rm D}_{000} , \end{equation} Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{p_{2}^{} }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =}[-(1/T_{1} )+j\Delta \omega ]{\rm D}_{000} , \end{equation} Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{p_{2}^{} }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =}[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} (\cos (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )-j\sin (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )){\rm D}_{000} , \end{equation} Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d(E_{0L} \exp (j\varphi ))}{dt} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } (E_{0L} \exp (j\varphi )){\rm =}[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} (\cos (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )-j\sin (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )){\rm D}_{000} , \end{equation} Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } (\frac{d(E_{0L} )}{dt} \exp (j\varphi )+E_{0L} j\exp (j\varphi )\frac{d\varphi }{dt} {\rm )+}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } (E_{0L} \exp (j\varphi )){\rm =}[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} (\cos (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )-j\sin (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )){\rm D}_{000} , \end{equation} Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } (\frac{d(E_{0L} )}{dt} +E_{0L} j\frac{d\varphi }{dt} {\rm )+}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } E_{0L} {\rm =}} \\ {{\rm =}\exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} (\cos (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )-j\sin (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )){\rm D}_{000} } \end{array}, \end{equation} Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d(E_{0L} )}{dt} {\rm =(}E_{0L} )^{-1} \exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} \cos (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } ){\rm D}_{000} -\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } E_{0L} , \end{equation} Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} {\rm =(}E_{0L} )^{-1} \exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} [-j\sin (\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )]{\rm D}_{000} , \end{equation} \noindent Б Для малых $\frac{\Delta \omega }{T_{1} } $получаем \noindent ббббббб \noindent Б \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d(E_{0L} )}{dt} {\rm =(}E_{0L} )^{-1} \exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} {\rm D}_{000} -\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } E_{0L} , \end{equation} Б \[{\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} {\rm =(}E_{0L} )^{-1} \exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} [-(\frac{\Delta \omega }{T_{1} } )]{\rm D}_{000} , (2.3.10\] Рассмотрим $(E_{0L} )^{-1} \exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} {\rm D}_{000} $ \[(E_{0L} )^{-1} \exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \omega _{0} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )(E_{0L} )^{} \exp (j\varphi )\] Рассмотрим $(E_{0L} )^{-1} \exp (-j\varphi )[(1/T_{1} )^{2} +(\Delta \omega )^{2} ]^{0.5} {\rm D}_{000} $ \[{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \omega _{0} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]^{0.5} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\] Б Система укороченных уравнений \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d(E_{0L} )}{dt} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \omega _{0} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]^{0.5} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )-} \\ {-\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } E_{0L} } \end{array}, \end{equation} \[{\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \omega _{0} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{[(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ]^{0.5} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} ), (2.3.10\] \noindent Юююююююю \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} {\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{j\Delta \omega }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} S_{NY0} R_{Y} \cdot (j\omega _{0} +j\Delta \omega )E_{L0} , \end{equation} В правой части \[\begin{array}{l} {{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} S_{NY0} R_{Y} \cdot (j\omega _{0} +j\Delta \omega )E_{L0} \approx {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} S_{NY0} R_{Y} \cdot j\omega _{0} E_{L0} =} \\ {={\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\exp (j\varphi )} \end{array}\] \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \{ }2(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{d/dt}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } \} E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )\exp (j\varphi )} \end{array}, \end{equation} \[\begin{array}{l} {{\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } (\frac{d(E_{0L} )}{dt} +E_{0L} j\frac{d\varphi }{dt} {\rm )+}} \\ {{\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } E_{0L} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )} \end{array}\] \noindent Б получаем систему укороч уравнений \[\begin{array}{l} {{\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d(E_{0L} )}{dt} {\rm +}} \\ {{\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )^{2} }{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )-\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } E_{0L} } \end{array}\] Б${\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega /T_{1} )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )$ \noindent Б Умножив на $T_{2} $ Бполучаем \noindent получаем систему укороч уравнений \[{\rm 2}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{dE_{0L} }{dt} {\rm =}g_{02} E_{L0} \cdot N_{21} -\frac{1}{T_{0F} } E_{0L} \] $N_{21} =\frac{\alpha _{N0} \cdot (\Delta \omega )^{2} }{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )$у \noindent коэффициент усиления $g_{02} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} T_{2} (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))$ \noindent Б для фазы \[{\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} {\rm =}g_{02} E_{L0} \cdot N_{21} \frac{(\Delta \omega /T_{1} )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } \] ббббббббббббббббббббббббббббббббб \noindent Б${\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} {\rm =(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega /T_{1} )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )$ \noindent \noindent Б для фазы \noindent ${\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} =[p_{2} -(1/T_{1} )]{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{-4} \omega _{0} E_{L0} \frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )$ббббббббб \noindent Б для фазы \noindent ${\rm 2}(\frac{1}{T_{0F} } {\rm +}\frac{1}{T_{2} } )\frac{1}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{} } \frac{d\varphi }{dt} =[\omega _{0} +\Delta \omega -(1/T_{1} )]g_{02} E_{L0} \cdot N_{21} \frac{(\Delta \omega /T_{1} )}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } $ббббббббб \noindent \noindent \noindent Получаем. \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; \{ }(\Delta \omega )^{4} -{\rm (}\frac{1}{T_{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } )j(\Delta \omega )^{3} -{\rm [(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } {\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ](\Delta \omega )^{2} {\rm +}} \\ {{\rm +[}\frac{1}{T_{0F} } {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ]j(\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} \} E_{n} {\rm =}S_{NY0} R_{Y} \cdot j(\Delta \omega )E_{L0} } \end{array}, \end{equation} Пренебрегая $(\Delta \omega )^{2} $П$(\Delta \omega )^{3} $о$(\Delta \omega )^{4} $лучаем укороченные уравнения задачи. \[\begin{array}{l} {{\rm \; \{ [}\frac{1}{T_{0F} } {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ]j(\Delta \omega ){\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} \} E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =}\frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )[\Delta \omega +j(1/T_{1} )]}{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )} \end{array}\] П \[\begin{array}{l} {{\rm \; (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} E_{n} {\rm =}} \\ {{\rm =}\frac{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(\Delta \omega )^{2} }{(\Delta \omega )^{2} +(1/T_{1} )^{2} } (E_{L0} -\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{3} )} \end{array}\] \noindent тттттттттттт \noindent \[\begin{array}{l} {(\Delta \omega )^{2} _{1,2} {\rm =}\frac{-B\pm \sqrt{B^{2} -4AC} }{2A} } \\ {A={\rm \; [1+}T_{1} {\rm (}\frac{1}{T_{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } )];\_ B=-{\rm \{ }T_{1} {\rm [}\frac{1}{T_{0F} } {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ]{\rm +}} \\ {{\rm +[(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } \frac{1}{T_{2} } {\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ]\} ;\_ C={\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} } \end{array}\] З $T_{1} {\rm >>}T_{2} \approx T_{0F} $ \[A={\rm \; [}T_{1} {\rm (}\frac{1}{T_{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } )]\approx \frac{T_{1} }{T_{0F} } ;\_ B=-{\rm \{ (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm [}\frac{2T_{1} }{T_{2} } ]\} ;\_ C={\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{4} \] П \noindent П $(\Delta \omega )^{2} {\rm =}\frac{{\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm [}\frac{2T_{1} }{T_{2} } ]\pm {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} 2\sqrt{{\rm \{ }\frac{T_{1} }{T_{2} } \} ^{2} -\frac{T_{1} }{T_{0F} } } }{2\frac{T_{1} }{T_{0F} } } =\frac{T_{0F} }{T_{2} } {\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )$ \noindent Подставляем $(\Delta \omega )^{2} $равнения для Im стационарного режима \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; \{ }-{\rm (}\frac{1}{T_{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{0F} } )(\frac{T_{0F} }{T_{2} } {\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ){\rm +}} \\ {{\rm +[}\frac{1}{T_{0F} } {\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} {\rm +}\frac{1}{T_{2} } {\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ]\} [(\frac{T_{0F} }{T_{2} } {\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ))^{} +(1/T_{1} )^{2} ]T_{1} {\rm =}} \\ {{\rm =}\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(1-\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{2} )} \end{array}, \end{equation} Подставляем $(\Delta \omega )^{2} $равнения для Im стационарного режима \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_10_} \begin{array}{l} {{\rm \; \{ 3(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} \} [(\frac{T_{0F} }{T_{2} } {\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ))^{} +(1/T_{1} )^{2} ]\frac{T_{1} }{T_{0F} } {\rm =}} \\ {{\rm =}\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))(1-\beta _{03} \cdot E_{L0} ^{2} )} \end{array}, \end{equation} \[E_{L0} ^{2} {\rm =}\frac{1}{\beta _{03} } (1-\frac{{\rm D}_{33} }{\alpha _{N0} \cdot (2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar ))} )\] П $(\Delta \omega )^{2} {\rm =}\frac{T_{0F} }{T_{2} } {\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )$ где \[{\rm D}_{33} {\rm =\{ 3(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} \} [(\frac{T_{0F} }{T_{2} } {\rm ((2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} ))^{} +(1/T_{1} )^{2} ]\frac{T_{1} }{T_{0F} } \] ишем с учетом выкладок уравнение для $n_{3} $в операторной форм \begin{enumerate} \item 3 --уровневая схема накачки КЛД \[n_{2} -n_{1} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{13} -1}{\tau _{21} p+\alpha _{13} +1+2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } \] \item 4 --уровневая схема накачки КЛД \[{\rm \; }n_{3} -n_{2} {\rm =\; }n_{0} \frac{\alpha _{14} }{\tau _{32} p+\alpha _{14} +(2\alpha _{14} \tau _{21} \sigma _{32}^{} +\tau _{32} \sigma _{32}^{} )E_{L0}^{2} } \] \item ЛД на объемном кристалле(2-х уровневое приближение) \[n_{2} -n_{1} {\rm =}n_{0} \frac{\alpha _{21} }{\tau _{21} p+1+0,2\tau _{21} \sigma _{21}^{} E_{L0}^{2} } {\rm \; },\] \end{enumerate} \noindent \noindent \noindent \noindent \noindent а действительную и мнимую части, оставляя члены не выше порядка $(\Delta \omega )^{2} $ \noindent через $E_{L} \approx E_{n} $ комплексную амплитуду \textit{первой гармоники }напряженности э-м поля лазера, а через $E^{} _{Y}^{} $ комплексную амплитуду первой гармоники \textit{управляющего} квадрата напряженности э-м поля лазера, причем \[E^{} _{Y}^{} (t)=S_{O{\rm NY}} [K_{OY} \cdot (n_{3} -n_{2} )](dE/dt) .\] Введем некоторую опорную частоту колебаний лазера $\nu _{0} $. \noindent Комплексные амплитуды $E_{L} $ и $E^{2} _{Y}^{} $связаны укороченным символическим уравнением. \[{\rm \; }K_{L} (p)E_{L} {\rm =}E^{2} _{Y}^{} {\rm \; }\] , где $K_{L} (p)$ - управляющий коэффициент передачи лазера. Который получается после укорачивания выражения $K_{L} (j2\pi \nu _{0} +p)$, если считать, что $p=j\Omega $,где$\Omega $ -малая расстройка относительно $2\pi \nu _{0} $. \noindent С другой стороны, связь медленно меняющихся амплитуд $E_{0L} $ и $E^{2} _{0Y}^{} $ определяется колебательной характеристикой лазера : \[E^{2} _{0Y}^{} =S_{O{\rm NY}} (E_{0L} ^{2} )\] \textbf{СИ.} Предположим, что к вынужденному излучению лазера добавляется шум спонтанного излучения$E_{SP} $. Его можно также характеризовать комплексной амплитудой \[E_{SP} =\xi _{n} =(\xi _{0nC} +j\xi _{0nS} )\exp (j(2\pi \nu _{0} +\Phi _{L} ) ,\] где $\xi _{0nC} $, $\xi _{0nS} $- синфазная и квадратурная составляющие СИ. Этим составляющим соответствуют энергетические спектры $S_{\xi }^{} _{0nC} $, $S_{\xi }^{} _{0nS} $. С учетом шумового СИ уравнения для напряженности примет вид \[{\rm \; }K_{L} (p)E_{L} {\rm =}E^{2} _{Y}^{} {\rm \; }.\] Решение этого уравнения ищется в виде \[E_{L} =(E_{L0} +m_{E} +E_{L0} \Delta \varphi _{E} )\exp (j\Phi _{L} )\] В последнем выражении учтено, что \noindent $\begin{array}{l} {E=(E_{L0} +m_{E} )\exp (j(2\pi \nu _{0} +\Phi _{L} +\Delta \varphi _{E} ))=\{ E_{L0} +(E_{L0} +e_{L0} )\Delta \varphi _{E} +} \\ {+m_{E} +\Delta \varphi _{E} \} \exp (j(2\pi \nu _{0} +\Phi _{L} ))\approx (E_{L0} +E_{L0} \Delta \varphi _{E} +m_{E} )\exp (j(2\pi \nu _{0} +\Phi _{L} ))} \end{array}$, где $m_{E} $, $\Delta \varphi _{E} $-флуктуации амплитуды и фазы напряженности э-м поля. \noindent \noindent \noindent Для определения \textbf{стационарного режима лазера}, положим сначала $m_{E} $, $\Delta \varphi _{E} $ равными нулю. Пользуясь теоремой смещения, и учитывая соотношения выше, получим следующее уравнение : \noindent ${\rm \; }K_{L} (p+j\Delta \omega )E_{L} {\rm =}S_{O{\rm NY}} [K_{OY} \cdot (n_{3} -n_{2} )\cdot E_{L}^{2} ](p+j\Delta \omega )E_{L} {\rm \; }$м\eqref{GrindEQ__1_7_} \noindent Разделим $K_{L} (p+j\Delta \omega )$на вещественную и мнимую части \[{\rm \; }K_{L} (p+j\Delta \omega ){\rm =}K_{LRe} (p+j\Delta \omega )+jK_{LIm} (p+j\Delta \omega )\] Запишем с учетом выкладок уравнение для $n_{3} $в операторной форме \[n_{3} {\rm =}\frac{\alpha _{14}^{} }{(p+j\Delta \omega )+1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} } ,\] \[\begin{array}{l} {n_{3} {\rm =}\frac{\alpha _{14}^{} }{(1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} +j\Delta \omega )} \frac{(1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} -j\Delta \omega )}{(1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} -j\Delta \omega )} =} \\ {=\frac{\alpha _{14}^{} (1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} -j\Delta \omega )}{(1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -(\Delta \omega )^{2} } ,} \end{array}\] Разделим $n_{3} (p+j\Delta \omega )$на вещественную и мнимую части \[{\rm \; }n_{3} (p+j\Delta \omega ){\rm =}n_{3} _{Re} (p+j\Delta \omega )+jn_{3} _{Im} (p+j\Delta \omega )\] Разделим $n_{3} (p+j\Delta \omega )$на вещественную и мнимую части \[{\rm \; }n_{3} (p+j\Delta \omega ){\rm =}n_{3} _{Re} (p+j\Delta \omega )+jn_{3} _{Im} (p+j\Delta \omega )\] Нелинейная характеристика оптического усилителя лазера $S_{O{\rm NY}} [K_{OY} \cdot n_{3} \cdot E_{L}^{2} ]=S_{ReO{\rm NY}} {\rm \; +}jS_{ImO{\rm NY}} $ \noindent Подставим в последнее уравнении \eqref{GrindEQ__1_7_}$K_{L} (p+j\Delta \omega )$ и $n_{3} _{Re} (p+j\Delta \omega )$и положим$p=0$ и получим уравнение для стационарного режима. \[\begin{array}{l} {K_{LRe} (j\Delta \omega )E_{L} +jK_{LIm} (j\Delta \omega )E_{L} =} \\ {=\{ S_{ReO{\rm NY}} {\rm \; }(\frac{\alpha _{14}^{} (1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} -j\Delta \omega )}{((1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -(\Delta \omega )^{2} )} )+jS_{ImO{\rm NY}} {\rm \; }(\frac{\alpha _{14}^{} (1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} -j\Delta \omega )}{((1/\tau _{32} +\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -(\Delta \omega )^{2} )} )\} j\Delta \omega E_{L} } \end{array}\] П$S_{ReO{\rm NY}} {\rm \; }($Разделим его на две части для дейст и мнимой. \noindent Рассмотрим характеристику оптического усилителя лазера со слабонелинейностью в точке стационарного режима и выполняется соотношение $S_{O{\rm NY}} (u)=S_{ReO{\rm NY}} (u){\rm \; +}jS_{ImO{\rm NY}} (u)$ \noindent получим уравнение для стационарного режима \noindent Разделим его на две части действительную и мнимую \[K_{LRe} (j\Delta \omega )E_{L} =\alpha _{14}^{} E_{L} \Delta \omega \frac{[\tau _{32} (\Delta \omega )S_{ReO{\rm NY}} {\rm \; }-S_{ImO{\rm NY}} (1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )]}{((1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -\tau _{32} (\Delta \omega )^{2} )} \] \includegraphics*[width=4.21in, height=0.49in, keepaspectratio=false]{image35}$K_{LIm} (j\Delta \omega )E_{L} =\alpha _{14}^{} E_{L} \Delta \omega \frac{[S_{ReO{\rm NY}} (1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )+\tau _{32} S_{ImO{\rm NY}} \Delta \omega ]}{((1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -\tau _{32} (\Delta \omega )^{2} )} \cdot $$K_{LIm} (j\Delta \omega )E_{L} =\alpha _{14}^{} E_{L} \Delta \omega \frac{[S_{ReO{\rm NY}} (1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )+\tau _{32} S_{ImO{\rm NY}} \Delta \omega ]}{((1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -\tau _{32} (\Delta \omega )^{2} )} \cdot $ \noindent \noindent Где $K_{LRe} (j\Delta \omega )=(2\pi \nu _{0} )^{2} $ , $K_{LIm} (j\Delta \omega )=(1/T_{F} )\Delta \omega $ \noindent ppppppppppppppp \noindent После проведения процесса укорочения по стандартной методике для медленно меняющихся амплитуд и фаз получаем \noindent \[{\rm \; }T_{OF} \frac{d^{} E_{L0} }{dt} {\rm =}S_{ReONY} (E_{L0} )R_{Y} -E_{L0} {\rm \; }\] \[{\rm \; }T_{OF} \frac{d^{} E_{SP0} }{dt} {\rm =}\frac{n_{3Lo} }{n_{3} } S_{ReONY} (E_{L0} )R_{Y} -E_{L0} {\rm \; }\] \[\frac{dn_{3} }{dt} {\rm =}\alpha -\frac{n_{3} }{\tau _{32} } -\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} n_{3} -\frac{n_{3Lo} }{n_{3} } \sigma _{32}^{} E_{SP0}^{2} n_{3} +\xi _{Nn} (t),\] \[{\rm \; }T_{OF} \frac{d^{} \psi _{L0} }{dt} {\rm =}S_{ImONY} (E_{L0} )R_{Y} {\rm \; }\] \noindent Ж где коэффициент $R_{Y} =A_{NE1} B_{NE1} =2p_{e}^{2} /(\varepsilon _{n} \hbar )$, \[S_{ReONY} (E_{L0} )=\frac{\alpha _{14}^{} (1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )}{(1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -(\tau _{32} \Delta \omega )^{2} } ,\] $S_{ImONY} (E_{L0} )=\frac{\Delta \omega }{(1+\tau _{32} \sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} )^{2} -(\tau _{32} \Delta \omega )^{2} } $ а \noindent Ж \noindent \includegraphics*[width=4.95in, height=3.36in, keepaspectratio=false]{image36} \noindent а) б) \noindent Рис. 2.14. Нелинейная зависимость напряженности поля (амплитуды первой гармоники ) и средней крутизны лазера КЛД для разных значений постоянной составляющей накачки КЛД (а), нелинейная зависимость переменной составляющей тока накачки (амплитуды первой гармоники ) КЛД в ОАГ и её средней крутизны(б) для схемы ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера. \noindent \noindent \noindent жжжжжжжжжжжжжж \noindent \noindent \noindent Частный случай $S_{ImO{\rm NY}} \approx 0$тогда \noindent Итого поправка на частоту и квадрат амплитуды с учетом нормировки \noindent Итого поправка на частоту и квадрат амплитуды \[(\Delta \omega )^{2} /(2\pi \nu _{0} )^{2} =\{ (T_{F} /\tau _{32} )^{2} -1/[S_{ReO{\rm NY}} \cdot \alpha _{14}^{} +(2\pi \nu _{0} )^{2} ]^{2} \} \] \[\sigma _{32}^{} E_{L0}^{2} =(T_{F} /(\tau _{32} ))[S_{ReO{\rm NY}} \cdot \alpha _{14}^{} +(2\pi \nu _{0} )^{2} ]-(1/\tau _{32} )\] \noindent \textbf{} \noindent \textbf{} \noindent \noindent \textbf{} \noindent \textbf{} \noindent \textbf{Строгое решение и анализ ДУ} \[{\rm \; Q}_{F} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )}E_{n} {\rm =}A_{NE1} B_{NE1} pNE_{n} , (2.3.9.1)\] \[N{\rm =\; }-\alpha _{N0} \cdot (1-p-(1/T_{1} )+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} p^{2} E_{n} E_{n} {\rm Q}_{P} ^{-1} )^{-1} , (2.3.10.1)\] Подставим\eqref{GrindEQ__2_3_10_} в \eqref{GrindEQ__2_3_10_} получим \textbf{} \[{\rm \; Q}_{F} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )}E_{n} {\rm =}A_{NE1} B_{NE1} pE_{n} \frac{\alpha _{N0} }{(p+(1/T_{1} )-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} p^{2} E_{n}^{2} {\rm Q}_{P} ^{-1} )} , (2.3.9.2) \] Далее в правой части знаменателя в (2.3.9.2 ) 1) при $\nu -\nu _{0} $можно принять${\rm Q}_{P} {\rm (}p{\rm )=(}p^{2} {\rm +(}1/T_{2} )p{\rm +(2}\pi \nu _{21} )_{}^{2} )\approx p/T_{2} {\rm +(2}\pi )^{2} {\rm (}\nu _{21} -\nu _{0} )_{}^{2} \approx p/T_{2} $ \[{\rm Q}_{F} {\rm (}p{\rm )=(}p^{2} {\rm +(}1/T_{0F} )p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )\approx p/T_{0F} {\rm +(2}\pi )^{2} {\rm (}\nu _{0n} -\nu _{0} )_{}^{2} \approx {\rm (}\nu -\nu _{0} )/T_{0F} \] \[\left|{\rm Q}_{P} {\rm (}p{\rm )}\right|{\rm =}\left|p/T_{2} {\rm +(2}\pi )^{2} {\rm (}\nu _{21} -\nu _{0} )_{}^{2} \right|{\rm =}\left|{\rm (}p/T_{2} )_{}^{2} {\rm +(2}\pi )^{4} {\rm (}\nu _{21} -\nu _{0} )_{}^{4} \right|^{1/2} \approx {\rm (}\nu -\nu _{0} )/T_{2} \] \[{\rm argQ}_{F}^{-1} _{} =T_{0F} (\nu -\nu _{0} ), {\rm argQ}_{P}^{-1} =T_{2} (\nu -\nu _{0} )\] Применяя теорему смещения и сделав замену$j(\nu -\nu _{0} )\to j\nu $ получаем \[{\rm \; }E_{n} {\rm =}\frac{2}{\varepsilon _{n} } \frac{p_{e}^{2} }{\hbar } \frac{j\nu E_{n} \alpha _{N0} }{(j\nu /T_{0F} {\rm +(2}\pi )^{2} {\rm (}\nu _{0n} )_{}^{2} )(j\nu /T_{2} {\rm +(2}\pi )^{2} {\rm (}\nu _{21} )_{}^{2} )(j\nu (1-\frac{p_{e}^{2} }{\hbar ^{2} } E_{n}^{2} T_{2} )+(1/T_{1} ))} \] 1)и фаз $j(\pi /2)-j(\nu -\nu _{0} )(T_{0F} +T_{2} )-j(arctgT_{1} (\nu -\nu _{0} )(1-\frac{p_{e}^{2} }{\hbar ^{2} } E_{n}^{2} T_{2} ))=-2\pi m$ \noindent Амплитуд$(-(\nu -\nu _{0} )^{2} (1-\frac{p_{e}^{2} }{\hbar ^{2} } E_{n}^{2} T_{2} )^{2} +(1/T_{1} )^{2} ){\rm =}T_{2} T_{0F} {\rm (}\frac{2}{\varepsilon _{n} } \frac{p_{e}^{2} }{\hbar } \alpha _{N0} )^{2} $ \noindent и приняв условие $T_{1} (\nu -\nu _{0} )(1-\frac{p_{e}^{2} }{\hbar ^{2} } E_{n}^{2} T_{2} )\prec \prec \pi /2$ \noindent фаз \[(\pi /2)-(\nu -\nu _{0} )(T_{0F} +T_{2} )-T_{11} (\nu -\nu _{0} )=-2\pi m\] аналитическое решение системы уравнений сложно. В окрестности \begin{enumerate} \item \textbf{Частота генерации} \end{enumerate} \noindent $\nu =\nu _{0} +\frac{\pi /2+2m}{(T_{0F} +T_{11} +T_{2} )} $ , где $m=1,2,3...$ ,\textbf{$T_{11} =T_{1} (1-\frac{p_{e}^{2} }{\hbar ^{2} } E_{n}^{2} T_{2} )$ $T_{11} =T_{1} (1-p_{e}^{4} \frac{4T_{2} T_{1} T_{0F} }{\hbar ^{2} \varepsilon _{n}^{2} _{} } (\alpha _{N0} )^{2} )$} \noindent 2)\textbf{квадрат амплитуды генерации лазера} \noindent $E_{n}^{2} {\rm =}+p_{e}^{2} \frac{4T_{1} T_{0F} }{\varepsilon _{n}^{2} _{} } (\alpha _{N0} )^{2} $ и$\alpha _{N0} =N_{0} /T_{1} $ или $E_{n}^{2} {\rm =}+p_{e}^{2} \frac{4T_{0F} }{\varepsilon _{n}^{2} _{} T_{1} } \cdot (N_{0} )^{2} $ \noindent \begin{enumerate} \item \textbf{Условия возбуждения генерации}. Учитывая, что $(p^{2} (1-\frac{p_{e}^{2} }{\hbar ^{2} } E_{n}^{2} T_{2} )+p(1/T_{1} ))=0,p=0,p(1-\frac{p_{e}^{2} }{\hbar ^{2} } E_{n}^{2} T_{2} )+(1/T_{1} )=0$ \end{enumerate} \noindent $p=-(1/T_{1} )/(1-(p_{e}^{2} /\hbar ^{2} )E_{n}^{2} T_{2} )$, при $E_{n}^{2} =0$,при генерации нет, а $(p_{e}^{2} /\hbar ^{2} )E_{n}^{2} T_{2} \succ 1$ генерация возможна или \noindent а $(p_{e}^{2} /\hbar ^{2} )E_{n}^{2} T_{2} p_{e}^{2} \frac{4T_{1} T_{0F} }{\varepsilon _{n}^{2} _{} } (\alpha _{N0} )^{2} \succ 1$ г а $p_{e}^{4} \frac{4T_{1} T_{0F} T_{2} }{\hbar ^{2} \varepsilon _{n}^{2} _{} } (\alpha _{N0} )^{2} \succ 1$ г а $p_{e}^{2} \frac{2(T_{1} T_{0F} T_{2} )^{1/2} }{\hbar ^{} \varepsilon _{n}^{} _{} } \alpha _{N0} ^{} \succ 1$ г или $\alpha _{N0} \succ \frac{\hbar ^{} \varepsilon _{n}^{} }{2(T_{1} T_{0F} T_{2} )^{1/2} p_{e}^{2} } $ и $\alpha _{N0} =N_{0} /T_{1} $и \noindent \textbf{условия пороговой генерации} (которое совпадает с [Лебедев ,стр.72]): \[N_{0} =\alpha _{N0} /T_{1} \succ \frac{\varepsilon _{n}^{} \hbar T_{1} ^{1/2} }{2(T_{0F} T_{2} )^{1/2} p_{e}^{2} } \] \noindent \textbf{2.8. Методика анализа фазовых шумов лазера КЛД и ОЭГ} \noindent \textbf{Выражение для напряженности внутри резонатора лазера с учетом спонтанного излучения} лазера получим из\eqref{GrindEQ__2_3_4_}и \eqref{GrindEQ__2_3_12_}: \[{\rm \; }\frac{d^{2} E}{dt^{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{OF} } \frac{d^{} E}{dt} {\rm +\; (2}\pi \nu _{OF} )^{2} E{\rm =\; }S_{O{\rm NY}} [E_{0p}^{} K_{OY} \cdot E(t-T_{OL} )]\frac{d^{} E(t-T_{OL} )}{dt^{} } +\xi _{n} (2.3.12),\] \noindent ююююююююююююююююююююююююю \noindent \textbf{Выражение для напряженности внутри резонатора лазера с учетом спонтанного излучения} лазера получим из\eqref{GrindEQ__2_3_4_}и \eqref{GrindEQ__2_3_12_}: \[{\rm \; }\frac{d^{2} E}{dt^{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{OF} } \frac{d^{} E}{dt} {\rm +\; (2}\pi \nu _{OF} )^{2} E{\rm =\; }S_{O{\rm NY}} [E_{0p}^{} K_{OY} \cdot E(t-T_{OL} )]\frac{d^{} E(t-T_{OL} )}{dt^{} } +\xi _{n} (2.3.12),\] Лазера пренебрежении влиянием АМ шумов на ФШ для лазера с учетом ланжевеновского источника случайной силы $\xi _{n} $, выражающего спонтанное излучение лазера \[{\rm \; }\left\langle \left[\Delta \varphi _{L} \right]^{2} \right\rangle =(\frac{2\pi \nu }{2\varepsilon _{0}^{} \left\langle E\right\rangle } )^{2} \left|t\right|\left\langle a_{n}^{2} \right\rangle \tau (2.3.12),\] , где $\left\langle a_{n}^{2} \right\rangle =(8\varepsilon _{n}^{} /V)(\hbar /Q_{n} \tau )(\left\langle n\right\rangle +1/2)$, \noindent ,где $\left\langle n\right\rangle $-среднее число шумовых фотонов согласно законам термодинамики $\left\langle n\right\rangle =1/(-1+\exp (\hbar 2\pi \nu /(k_{B} T))$, где $V$ -объем резонатора, $k_{B} $-постоянная Больцмана, $T$-температура в кельвинах,$\varepsilon _{n}^{} =\varepsilon _{0}^{} $-электрическая постоянная, при $T_{0F} $много меньше $T_{1} $ добротность $Q_{n} =2\pi \nu T_{1} $, (при $T_{0F} $много больше $T_{1} $ добротность $Q_{n} =2\pi \nu T_{0F} $) \[{\rm \; }\left\langle \left[\Delta \varphi _{L} \right]^{2} \right\rangle =\left|t\right|\frac{2\hbar }{\varepsilon _{0}^{} \pi \nu T_{0F} V(\left\langle E\right\rangle )^{2} } (1/(-1+\exp (\hbar 2\pi \nu /(k_{B} T))+1/2)=\left|t\right|\Delta \nu _{L} (2.3.12),\] Ширина линии лазерной генерации \[\Delta \nu _{L} =\frac{2\hbar \nu }{\varepsilon _{0}^{} \pi \nu T_{0F} V(\left\langle E\right\rangle )^{2} } (1/(-1+\exp (\hbar 2\pi \nu /(k_{B} T)+1/2)\] Полная энергия, запасенная в резонаторе лазера равна $W=4\varepsilon _{0}^{} V(\left\langle E\right\rangle )^{2} $ \[\Delta \nu _{L} =\frac{\hbar \nu }{T_{0F} 2W} (1/(-1+\exp (\hbar 2\pi \nu /(k_{B} T)+1/2)\] \noindent \textbf{ДУ \eqref{GrindEQ__2_3_11_} является базовым} \textbf{для лазера КЛД} и может быть упрощено. Рассмотрим случай, справедливый для полупроводникового лазера КЛД, когда ширина спектра возбуждаемых в резонаторе колебаний много меньше контура усиления активной среды КЛД, или при выполнении условия постоянная времени оптического фильтра $T_{0F} $ много меньше постоянной времени контура усиления $T_{2} $. Тогда ДУ \eqref{GrindEQ__2_3_11_}, учитывая сделанное обратное преобразование Лапласа, запаздывание $T_{OL} $ в резонаторе КЛД. Далее, введем источник шума $\xi _{n} $ спонтанного излучения, ДУ \eqref{GrindEQ__2_3_11_} записывается в виде ДУ \eqref{GrindEQ__2_1_1_}, указанного для лазера КЛД в начале главы 2, \noindent \[{\rm \; }\frac{d^{2} E}{dt^{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{OF} } \frac{d^{} E}{dt} {\rm +\; (2}\pi \nu _{OF} )^{2} E{\rm =\; }S_{O{\rm NY}} [E_{0p}^{} K_{OY} \cdot E(t-T_{OL} )]\frac{d^{} E(t-T_{OL} )}{dt^{} } +\xi _{n} (2.3.12),\] \noindent Здесь в \eqref{GrindEQ__2_3_12_} сделаны следующие замены из \eqref{GrindEQ__2_3_11_} в правой части ${\rm Q}_{P} {\rm (}p{\rm )}\to ={\rm 1}$, \noindent \[{\rm Q}_{F} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )}E_{n} {\rm \; }\to {\rm =}\frac{d^{2} E}{dt^{2} } {\rm +}\frac{1}{T_{OF} } \frac{d^{} E}{dt} {\rm +\; (2}\pi \nu _{OF} )^{2} E,\] \[-A_{NE1} B_{NE1} \alpha _{N0} \cdot (1-p-(1/T_{1} )+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} p^{2} E_{n} E_{n} {\rm Q}_{P} ^{-1} )^{-1} \to =S_{O{\rm NY}} [E_{0p}^{} ,K_{OY} ,E(t-T_{OL} )]\] \noindent , где $E_{0p}^{} $-напряженность ЭМП накачки по физическому смыслу аналогичная параметру накачки $\alpha _{N0} $ , пропорциональным разности населенности на верхнем уровне, $K_{OY} $ - коэффициент усиления оптического усилителя КЛД или активной среды,$S_{O{\rm NY}} $ - сложная нелинейная зависимость, связывающая энергетические параметры колебаний накачку $\alpha _{N0} $,$E_{0p}^{} $,$E(t-T_{OL} )$и время жизни носителей на верхнем уровне $T_{1} $ лазера КЛД . Как будет показано далее сложная нелинейная зависимость $S_{O{\rm NY}} $, которая в лазере КЛД определяется \textit{мультипликативной нелинейностью} с инерционностью (членом $NE_{n} $), может быть при малом сигнале аппроксимирована мягкой нелинейности кубического вида $\alpha _{N0} \cdot (\alpha _{11} E_{n} -\beta _{11} E_{n}^{2} )$. \noindent \textbf{Упрощение базового ДУ \eqref{GrindEQ__2_3_11_}.} Примем во внимание, что при выполнении условия $T_{0F} $ много меньше постоянной времени контура усиления лазера $T_{2} $ в \eqref{GrindEQ__2_3_11_} в правой части произведем замену ${\rm Q}_{P} {\rm (}p{\rm )}\to ={\rm 1}$ и получаем следующее уравнение \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_13_} {\rm \; Q}_{F} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )}E_{n} {\rm =}-A_{NE1} B_{NE1} p^{} E_{n} \alpha _{N0} \cdot (1-p-(1/T_{1} )+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} p^{2} E_{n} E_{n} )^{-1} , \end{equation} \noindent Рассмотрим режим малого сигнала и, учитывая медленность изменения амплитуд $E_{n0} $, тогда правомочна следующая замена \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_14_} (1-p-(1/T_{1} )+(1/\hbar )\cdot B_{NE1} p^{2} E_{n} E_{n} )^{-1} =(1-p-(1/T_{1} ))^{-1} (1-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} p^{2} E_{n} E_{n} ) \end{equation} \noindent Подставляя \eqref{GrindEQ__2_3_14_} в \eqref{GrindEQ__2_3_11_}, и принимая во внимание, что операторный коэффициент ${\rm Q}_{N} {\rm (}p{\rm )}=(1-p-(1/T_{1} ))$ получаем уравнение, \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_15_} {\rm \; Q}_{N} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )Q}_{F} {\rm (}p{\rm )}E_{n} {\rm =}A_{NE1} B_{NE1} p\alpha _{N0} E_{n} \cdot (1-(1/\hbar )\cdot B_{NE1} p^{2} E_{n} E_{n} ), \end{equation} \includegraphics*[width=2.68in, height=3.16in, keepaspectratio=false]{image37}\includegraphics*[width=2.64in, height=2.78in, keepaspectratio=false]{image38} \noindent а) б) \noindent Рис. 2.11. Схема замещения ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера на базе полуклассических уравнений лазера: построенные а) по выражению \eqref{GrindEQ__2_3_11_} и б) по выражению \eqref{GrindEQ__2_3_15_}. \noindent \noindent Сделав алгебраические преобразования в \eqref{GrindEQ__2_3_15_}, приходим к виду \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_16_} {\rm \; Q}_{N} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )(}p^{2} {\rm +(}1/T_{0F} )p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )E_{n} {\rm =}A_{NE1} B_{NE1} p\alpha _{N0} E_{n} \cdot (1-(B_{NE1} /\hbar )\cdot p^{2} E_{n} E_{n} ), \end{equation} \noindent Уравнения \eqref{GrindEQ__2_3_16_} представляет собой \textit{уравнение осциллятора}. Оно \eqref{GrindEQ__2_3_16_} в левой части содержит инерциальные операторы для разности населенности${\rm Q}_{N} {\rm (}p{\rm )}=(1-p-(1/T_{1} ))$, для поляризации ${\rm Q}_{P} {\rm (}p{\rm )=(}p^{2} {\rm +(}1/T_{2} )p{\rm +(2}\pi \nu _{12} )_{}^{2} )$ и для оптического резонатора лазера КЛД ${\rm Q}_{F} {\rm (}p{\rm )=(}p^{2} {\rm +(}1/T_{0F} )p{\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )$, а в правой части ДУ \eqref{GrindEQ__2_3_16_} представлена вынуждающая сила с нелинейным членом $A_{NE1} B_{NE1} p\alpha _{N0} E_{n} \cdot (1-(B_{NE1} /\hbar )\cdot p^{2} E_{n} E_{n} )$ типа $\alpha _{N0} \cdot (\alpha _{11} E_{n} -\beta _{11} E_{n}^{3} )$, где коэффициенты $\alpha _{11} =A_{NE1} B_{NE1} p$ и $\beta _{11} =(A_{NE1} B_{NE1}^{2} p^{3} /\hbar )$. \noindent После алгебраических преобразований \eqref{GrindEQ__2_3_16_} получаем \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_17_} {\rm \; Q}_{N} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )(}p^{2} {\rm +}p((1/T_{0F} ){\rm )+(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )E_{n} -A_{NE1} B_{NE1} \alpha _{N0} E_{n} {\rm =}-p^{3} (1/\hbar )A_{NE1} B_{NE1}^{2} \alpha _{N0} E_{n}^{3} , \end{equation} \noindent ДУ \eqref{GrindEQ__2_3_17_} показывает, что колебания становятся возможными при росте накачки при компенсации потерь в резонаторе лазера КЛД. Общий операторный коэффициент усиления \textit{K${}_{л}$(p)} лазера КЛД на плоскости комплексной переменной \textit{p} имеет три пары комплексно-сопряженных полюсов (рис.2.14). Из теории колебаний известно, что цепь устойчива, если ее полюса лежат в левой плоскости. Следовательно, при возникновении незатухающих колебаний в лазере КЛД хотя бы два полюса коэффициента усиление КЛД должны находиться в правой полуплоскости. \noindent \includegraphics*[width=5.38in, height=2.26in, keepaspectratio=false]{image39} а) б) \noindent Рис.2.12. Диаграмма полюсов общего операторного коэффициента усиления для лазера КЛД при добротности линии усиления («по поляризации» и «населенности») 10${}^{4}$, добротности оптического резонатора 10${}^{2}$ : а) в состоянии теплового равновесия или при постоянной составляющей тока накачки \textit{J} равной нулю (при разности населенностей -10${}^{18}$ см${}^{-3}$), б) при инверсии населенности при постоянной составляющей тока накачки \textit{J} больше нуля (при разности населенностей 10${}^{8}$ см${}^{-3}$). \noindent \noindent На рис. 2.12 приведена диаграмма полюсов общего операторного коэффициента усиления для лазера КЛД для разных значениях постоянной составляющей накачки лазера(или разных значениях разности населенности). \noindent В оптическом диапазоне добротность линии усиления КЛД составляет 2*10${}^{4}$ (добротность линии усиления КЛД \textit{Q}${}_{1}$= $(\nu _{00} -\nu _{0} )/\nu _{0} $, где частота фотон-электронного резонанса, $\nu _{0} $- частота генерации КЛД, $f_{00} =\nu _{00} -\nu _{0} =(1/T_{1} )((T_{1} /T_{0F} )(J/J_{th} -1))^{1/2} $=10${}^{9}${\dots}10${}^{10 }$Гц, где $J$ постоянная составляющая тока накачки $J_{th} $пороговый ток накачки )${}^{ }$ добротность оптического резонатора КЛД составляет 2*10${}^{2 }$(при учете ,что резонатор образован «сколами» полупроводникового кристалла длиной 100мкм, оптическая частота генерации КЛД составляет 2*10${}^{14 }$Гц , постоянная времени оптического резонатора КЛД равна $T_{0F} $ =10${}^{-12 }$с). На рис. 2.12 и 2.14 видно, что при таких соотношениях добротностей частота генерации КЛД определяется резонансной частотой резонатора, но конкретное значение частоты определяется из решения уравнения для баланса фаз КЛД для ФЧХ оптического резонатора и коэффициента усиления КЛД. При этом постоянная времени и крутизна ФЧХ коэффициента усиления КЛД определяется временем жизни на рабочем уровне $T_{1} $ и уровнем накачки$J/J_{th} $ . \noindent \textbf{} \noindent \includegraphics*[width=6.44in, height=7.61in, keepaspectratio=false]{image40} \noindent Рис. 2.13. Диаграмма определения оптической частоты генерации лазера КЛД и радиочастоты генерации ОАГ для схемы ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера КЛД. \noindent \noindent \textbf{Анализ ДУ лазера КЛД \eqref{GrindEQ__2_3_16_}. }Находим из ДУ \eqref{GrindEQ__2_3_16_} управляющий коэффициент передачи лазера КЛД в режиме малого сигнала запишем в виде \noindent \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_18_} K_{n} =-\frac{p^{3} (1/\hbar )A_{NE1} B_{NE1}^{2} \alpha _{N0} }{{\rm \; Q}_{N} {\rm (}p{\rm )Q}_{P} {\rm (}p{\rm )((}p^{2} {\rm ))+}p((1/T_{0F} ){\rm +(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} )-A_{NE1} B_{NE1} \alpha _{N0} } , \end{equation} Сделаем обратное преобразование Лапласа выражения \eqref{GrindEQ__2_3_18_}, введем в выражении \eqref{GrindEQ__2_3_18_} частоту «фотон-электронного резонанса» $\nu _{00n} $, которая \noindent \noindent \includegraphics*[width=4.95in, height=3.36in, keepaspectratio=false]{image41} \noindent а) б) \noindent Рис. 2.14. Нелинейная зависимость напряженности поля (амплитуды первой гармоники ) и средней крутизны лазера КЛД для разных значений постоянной составляющей накачки КЛД (а), нелинейная зависимость переменной составляющей тока накачки (амплитуды первой гармоники ) КЛД в ОАГ и её средней крутизны(б) для схемы ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера. \noindent пропорциональна накачке $\alpha _{N0} $ и учтем, что коэффициенты $A_{NE1} =\frac{2}{\varepsilon _{n} } $ , $B_{NE1} =\frac{p_{e}^{2} }{\hbar } $ , $\alpha _{N0} =N_{0} /T_{1} $, ${\rm (2}\pi \nu _{00n} )_{}^{2} =A_{NE1} B_{NE1} \alpha _{N0} =\frac{2}{\varepsilon _{n} } \frac{p_{e}^{2} }{\hbar } \alpha _{N0} =\frac{2}{T_{1} \varepsilon _{n} } \frac{p_{e}^{2} }{\hbar } N_{0} $ . \noindent Тогда выражение \eqref{GrindEQ__2_3_18_}, введя $K_{0n} =-(p^{3} /\hbar )B_{NE1}^{2} $ , представим в виде \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_19_} K_{nn} {\rm =}K_{n} {\rm /}K_{0n} {\rm =}\frac{{\rm (2}\pi \nu _{00n} )_{}^{2} }{{\rm \; ((2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu )^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{00n} )_{}^{2} {\rm ))+2}\pi j\nu (1/T_{0F} +1/T_{1} +1/T_{2} ))} , \end{equation} и запишем выражение для декремента затухания $\mu _{000} {\rm =}(1/T_{0F} +1/T_{1} +1/T_{2} )$. \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_20_} K_{nn} {\rm =}\frac{{\rm (2}\pi \nu _{00n} )_{}^{2} }{{\rm \; ((2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} -{\rm (2}\pi \nu )^{2} -{\rm (2}\pi \nu _{00n} )_{}^{2} {\rm ))+2}\pi j\nu \mu _{000} } \end{equation} Тогда, разделив в выражении \eqref{GrindEQ__2_3_19_} числитель и знаменатель на ${\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} $ представим в виде \begin{equation} \label{GrindEQ__2_3_21_} K_{nn} {\rm =}\frac{{\rm (2}\pi \nu _{00n} )_{}^{2} {\rm /(2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} }{{\rm \; (1}-\frac{{\rm (2}\pi \nu )^{2} {\rm +(2}\pi \nu _{00n} )_{}^{2} }{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} } {\rm ))+2}\pi j\nu \frac{(1/T_{0F} +1/T_{1} +1/T_{2} )}{{\rm (2}\pi \nu _{0n} )_{}^{2} } } . \end{equation} \noindent Выражения \eqref{GrindEQ__2_3_18_} ,\eqref{GrindEQ__2_3_20_} и \eqref{GrindEQ__2_3_21_} отражают особенности управляющего коэффициента передачи лазера КЛД для двухуровневой модели. Коэффициент передачи прямо пропорционален дипольному моменту $p_{e}^{2} $ , резонансная частота $\nu _{00n} $, зависящая от накачки определяет фактически максимальное значение модуля коэффициента передачи и оно зависит от времени жизни носителей на рабочем уровне $T_{1} $. Декремент затухания определяется общими потерями в резонаторе , в активной среде и временем жизни носителей. На рис. 2.13. представлена диаграмма определения оптической частоты генерации лазера КЛД и радиочастоты генерации ОАГ для схемы ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера КЛД, которая построена на основе предыдущего анализа. 2\textbf{.8. Выводы по главе 2} В результате теоретического исследования оптоэлектронного автогенератора и анализа его базовых схем с прямой модуляцией и внешней модуляцией оптического излучения лазера с одиночным оптическим волокном ОВ и двумя ОВ разной длины сделаны следующие выводы. 1. Для математического описания исследуемых в работе схем ОАГ с прямой и внешней модуляцией использованы два взаимосвязанных дифференциальных уравнения с флуктуациями для напряженности электромагнитного поля лазера КЛД и для тока накачки ( в случае схемы с прямой модуляцией КЛД) и для напряжения, поступающего на электроды модулятора Маха-Цендера (для схемы с внешней модуляцией). Первое уравнение описывает формирование оптических колебаний в лазере КЛД, второе уравнение описывает формирование радиочастотных колебаний в ОАГ. «Ланжевеновские» шумовая составляющая напряженности поля в лазере КЛД описывает влияние фазового шума \textit{спонтанного излучения лазера} на формирование колебаний КЛД. \noindent 2. Для исследования динамических характеристик ОАГ и зависимостей частоты и амплитуды генерации от времени выведены для ОАГ с ВОЛЗ на базе двух оптических волокон разной длины дифференциальные уравнения с запаздыванием (ДУЗ). Выведенные уравнения ДУЗ ОАГ являются универсальными. Эти уравнения позволяют рассчитывать частоту генерации не только в ОАГ с дифференциальными и составными ВОС, но и в ОАГ с одиночным ОВС, возбуждаемых КЛД с двумя (или несколькими) продольными модами, то есть в оптическое излучение которого входит две оптические частоты \textit{$\nu$${}_{л1}$} и \textit{$\nu$${}_{л2}$}. В этом случае коэффициенты возбуждения А и В в ДУЗ определяют относительные величины оптической мощности, распространяющиеся излучениями на частотах $\nuup$${}_{л1}$ и $\nuup$${}_{л2}$, для которых задержка в ОВС разная. Полученные численные результаты решения ДУЗ ОАГ (на базе созданной компьютерной программы) в переходном режиме позволили определить, что время установления автоколебаний является от 4 до 10 раз больше, чем средняя задержка сигнала в ВОС, и зависит от коэффициентов возбуждения А и В. 3. Выявлены возможности управления радиочастотой автоколебаний ОАГ посредством изменения параметров лазера, а также управление частотой и фазой оптических колебаний лазера посредством изменения параметров радиочастотного генератора (например, вариациями собственной частоты РЧ фильтра). 4. Получены уравнения баланса фаз и амплитуд ОАГ с дифференциальной составной ВОС с учетом управляющих токов и оптической частоты. На основе этих уравнения получены выражения для частоты и амплитуды генерации ОАГ в стационарном режиме и основные зависимости частоты и амплитуды при различных изменениях параметров. Показано, что в схеме ОАГ с составной дифференциальной ВОС (двумя или несколькими ВС разной длины) возможно производить управление частотой генерации ОАГ с помощью изменений постоянного тока КЛД, а также производить новые виды управления частотой генерации ОАГ в его оптической части . 5. В результате исследования и анализа системы трех ДУ полуклассической теории лазера для напряженности ЭМП, поляризации и населенности для лазера КЛД получена система из двух уравнений, которые для режима малого сигнала сводятся к одному символическому ДУ. Последующий анализ, сделанный на основе метода баланса фаз и амплитуд для КЛД, показал преимущества предложенного подхода при математическом моделировании и описании лазера КЛД, как сложной автоколебательной системы. \noindent \noindent \noindent \end{document}

 

 Борцов Александр Анатольевич, Борцов А.А., А.А.Борцов "Оптоэлектронный генератор с накачкой квантоворазмерным лазером"

 Диссертация на звание доктора технических наук.