Copyright 2017 - Custom text here
 
  1. 3. Математическая модель ОАГ с модулятором Маха-Цендера

           Лазер в ОАГ с модулятором Маха-Цендера МЦ. Ниже приведем для анализа фазовых шумов  лазера КЛД флуктационные уравнения для  лазера, выведенные с использованием полуклассической теории, элементы которой были продемонстрированы в главе 2 (раздел 2.7)   [163,164] .  Динамический характер шумовых характеристик лазера можно описать с помощью укороченных уравнений для  напряженности электрического поля    и оптической фазы   лазера 

 

                                             (6.3)                                                     

                                          (6.4)                                                                                

 

где оптическое усиление активной среды   лазера (накачка), собственная частота резонатора лазера, добротность резонатора лазера, постоянный коэффициент ( коэффициент насыщения или коэффициент потерь ,связанных со спонтанным излучением активной среды), угловая оптическая  частота продольной генерируемой моды резонатора лазера  , показатель преломления материала резонатора, геометрическая длина резонатора лазера, - скорость света в вакууме,  - диэлектрическая постоянная, , -постоянные коэффициенты, , синфазная и квадратурная составляющие «ланжевеновских» флуктуаций(спектральные плотности  которых равны соответственно ), которые определяются шумами поля атомов активной среды   в  резонаторе лазера. 

С учетом фотоприема  в ограниченной полосе оптических частот  при использовании в ВОС, например, узкополосного оптического фильтра, случайный процесс оптического излучения лазера можно считать стационарным с нулевым средним значением.  Для такого процесса  спектральные плотности  и  флуктуаций лазера  ,  находятся при решении укороченных уравнений  (6.3) и(6.4) с учетом флуктуационных «ланжевеновских» воздействий ,   и  определяются выражениями  

 

                                                                                (6.5)

                                                   (6.6)                                              

 

где , - полуширина спектральной линии оптического резонатора лазера обратно пропорциональна постоянной времени резонатора  лазера ,  ,  - постоянные коэффициенты. Физический смысл (6.5) и (6.6)  ясен: чем больше уровень усиления среды или накачки,  чем выше добротность резонатора лазера и ниже уровень спонтанного излучения, тем ниже при фиксированной величине отстройки от несущей  амплитудные шумы (АШ) и фазовые шумы  (ФШ) . При нулевой отстройке АШ равны фиксированному значению , а ФШ стремяться в бесконечность.  Вторая приближенная формула в (6.6) может служить для  быстрой качественной оценке ФШ лазера при известных значениях для  спонтанного шума.                                          

           Аналогичные выражения для спектральных плотностей ,  лазера получаются при рассмотрении квантомеханических уравнений Ван-дер-Поля для полупроводникового лазера [164]   при учете спонтанного излучения активной среды.   Заметим, что спектральная плотность фазовых флуктуаций  лазера , как для всех автоколебательных систем с диссипацией,  обратно пропорциональна нормированной мощности и   . Спектр фазовых флуктуаций  формирует спектр лазера. Фазовые флуктуации лазера в свою очередь определяются, главным образом, величиной спонтанного излучения.

          Одним из отличий ОАГ от традиционных автогенераторов  является то, что  в малошумящем ОАГ необходимо оптический канал ВОC рассматривать как пространственную структуру, в которой дисперсия фазовых флуктуаций является различной в поперечном сечением. Это обусловлено тем, что, во-первых, фазовые флуктуации излучения на выходе  лазера в поперечном сечении являются различными. Во-вторых, пространственный оптический канал  ВОЛЗ неодороден и неидеален. Он содержит  неосесимметричные планарные оптические волноводы, Y- и Х- ответвители МЦ,  и осесимметричный волоконный светодовод ВОС.  Учесть зависимость  флуктуации фазы  излучения лазера в поперечном сечении можно, если ввести  пространственный параметр . 

Рис.6.10. Расчетные зависимости корреляционной функции K12  от отстройки от несущей   для разных значений разницы запаздывания в оптических каналах МЦ ,  и спектральной ширине лазера =1кГц.

Можно показать, что спектр лазера является функцией пространственного параметра ,  справедливо выражение 

 

                                                                       (6.7)   

 

где  – пространственная постоянная  флуктуаций фазы выходного излучения лазера. Поясним физический смысл выражения (6.7). В частности определим пространственный параметр , как радиус (или расстояние в поперечном сечении от оптической оси до точки анализа с радиусом  ). При этом флуктуации фазы лазерного излучения в поперечном сечении нарастают при удалении от оптической оси.

График зависимости, представленный на рис.6.10 показывает, что при разнице запаздывания в оптических каналах МЦ  и менее 10-8 мкс значение близко к 1 с точностью до третьего знака при спектральной ширине лазера =1кГц. Это означает, что статистические случайные величины флуктуаций фаз колебаний лазерного излучения на выходах каналов  ОК1и ОК2 зависимы.

 С выхода лазера  линейно поляризованное оптическое излучение поступает на вход модулятора. Тогда   зависимость от времени  мгновенной напряженности поля излучения  на центральной частоте генерации ЛД  с  учетом амплитудных и фазовых флуктуаций лазера определяется выражением

 

             (6.10)  

 

где ,  –  амплитудные и фазовые флуктуации поля лазера, определяемые  спектральными плотностями выражений, соответственно, индекс, учитывающий пространственную зависимость  оптического излучения лазера (например, поляризационную зависимость ),  – парциальная амплитуда излучения лазера,    –  парциальный фазовый набег излучения лазера.   Суммарное выходное излучение лазера определяется как результат интегрирования на площадке ФД по всем значениям пространственного индекса лазерного излучения

 

    .          

Пространственный индекс , который в самом простейшем случая является расстоянием или радиусом  от оптической оси до конкретной точки в перпендикулярном сечении к оптической оси. Лазерное излучение обладает пространственным распределением по некоторому сечению, отстоящему от выхода лазера КЛД на некоторое расстоянии.  Физический смысл интегрирования по индексу вполне понятен: проводится интегрирования по значениям амплитуды напряженности поля с учетом пространственного распределения амплитуды поля.

 

  1. 4. Характеристики и коэффициент передачи модулятора Маха-Цендера в ОАГ

 

После прохождения оптического излучения    модулятора  и оптического волокна ОВ на площадке ФД  будут складываться два оптических излучения, прошедшие модулятор МЦ  по первому и второму    оптическим каналам модулятора МЦ  и  ВС

 

                          (6.11)                

                         (6.12)                

 

Коэффициенты  возбуждения , первого и второго каналов модулятора соответственно являются в общем случае зависимыми от пространственного индекса   и приблизительно равны .

 

Рис.6.11.Модуляционная характеристика модулятора МЦ. Зависимости фототока ФД от изменения разности фаз оптических колебаний в каналах МЦ.

 

 

Рис.6.12. Типичные экспериментальные зависимости постоянной составляющей       оптической мощности Pопт , и  переменной составляющей  оптической  мощности PРЧ  (модулируемой  СВЧ колебаниями на частоте f=10ГГц) , детектируемых  ФД ,размещенным  на выходе модулятора МЦ ,от постоянного напряжения смещения Uм модулятора МЦ).

 

При напряжении смещении Uм= Uмmin   разность фаз оптических  колебаний, распространяющихся по оптическим каналам ОК1 и ОК2, равна  .                                    

                       

Рис.6.13.Зависимости продетектированной на выходе фотодетектора ФД  мощности СВЧ  Pвых  от мощности СВЧ колебания на электрическом входе МЦ  Pвх      при  частоте  f =1ГГц). Оптическая длина волны нм. Напряжение смещение равно1В.

 

Задержка во втором канале модулятора при подаче на вход модулятора МЦ гармонического сигнала изменяется  как

 

                                                                                          (6.13) 

 

где   – задержка оптического сигнала во втором канале модулятора МЦ при подаче на МЦ напряжения постоянного смещения , а  - крутизна преобразования модулятора МЦ, соответственно.

Приращение оптической фазы  на выходе ОК2 в  модуляторе Маха-Цендера при подаче на электроды второго оптического канала  постоянного напряжения   определяется по формуле

 

,                             (6.14)  

 

где эффективная длина электродов модулятора м, расстояние между электродами модулятора  мкм, коэффициент  м/В, эффективный показатель преломления  материала  и составляет  несколько градусов при   входных  напряжениях не больше 0,01 В. При этом индекс фазовой модуляции, определяемый как    составляет    несколько процентов. Заметим, что при больших сигналах модуляции  выражение для аргумента необходимо представлять нелинейной зависимостью через функции Бесселя.

 Эффективность модулятора можно оценить коэффициентом , который определяется как отношение

 

                                                           (6.15)  

 

Для определения эффективности модулятора МЦ вводится коэффициент ,определяемый как отношение  приращения фазового сдвига к оптическими потерям  в МЦ (или отношению действительной части показателя преломления МЦ к его мнимой части)

 

                                                                (6.16)  

 

При малом входном сигнале модуляции на МЦ можно воспользоваться  линеаризацией   аргумента и представить выражение для    напряженности на площадке ФД   как

 

                                (6.17) , 

 

                  в котором модуль    где  - модуль коэффициента передачи модулятора МЦ.

Используя, что  есть нормированная интенсивность на входе МЦ, коэффициент и модуль интенсивности на выходе МЦ равен

 

                                                   (6.18)       

 

где , -фазовые набеги оптического излучения ,соответственно, в ОК1и ОК2.При и  модуль коэффициента передачи модулятора МЦ  равняется

 

 .                                      (6.19)  

 

Аргумент     равен

 

   (6.20) 

 

В малосигнальном режиме при и для малых отклонений и от их средних значений получено для отклонений  аргумента из (6.20)   следующее выражение

 

   (6.21)  

 

 Из выражения (6.21) следует важный вывод, что малые изменения коэффициента неравномерности    возбуждения каналов ОК1 и ОК2 приводят  к   изменениям разностного фазового сдвига .Это означает ,что для работы в ОАГ МЦ должны быть соблюдены требования к пространственной когерентности лазера и поляризации его излучения.

Для простоты в малосигнальном режиме можно считать

 

                                                       (6.22)                                                     

 

В малосигнальном режиме коэффициент  определяется как

 

                                                                     (6.23)         

 

Это означает, что при максимуме выходной мощности лазерного излучения  имеется максимум параметра ,    в   то время, как изменения  мощности  минимальны.

Напряжение на сопротивлении нагрузки    фотодетектора ФД    . Ток  ФД  есть сумма  всех фототоков по индексу . Фототок есть результату умножения напряженности излучения на комплексно сопряженную . Поэтому для тока ФД справедливо выражение

 

                                (6.24).

 

Коэффициент передачи ФД  определяется выражением , где   есть постоянная времени фотодетектора.

Общий коэффициент передачи модулятора МЦ должен  учитывать коэффициент передачи радиочастотных  электродов. Данные выражения (6.19), (6.20),(6.22) для коэффициента передачи МЦ справедливы в пренебрежении потерь и запаздывания электрического сигнала СВЧ в системе электродов МЦ.  В  случае  учета потерь и запаздывания электрического сигнала СВЧ в системе электродов МЦ выражение для коэффициента передачи МЦ записывается в виде

                                       (6.24) .

Для модуля коэффициента передачи МЦ

               (6.24.1)  

и аргумента коэффициента передачи МЦ

             (6.24.2) ,  

где - СВЧ потери в электродах, - длина электродов, .На рис.6.15 показаны расчетные (6.24)   (а) и экспериментальные (б) зависимости модуля коэффициента передачи МЦ в малосигнальном режиме. При этом на рис. 6.15  а) положено для кривых А) ,B) ,C) .

                                            а)                                                              б)

         Рис.6.14. Расчетные (а) и экспериментальные (б) зависимости модуля коэффициента передачи МЦ в малосигнальном режиме. Оптическая длина волны лазера .При этом на рис. 6.14  а)для  А) ,B) ,C) . Для б) напряжение постоянного смещения на экспериментальном  МЦ было равно 1В.

 

На рис. 6.14 (б) показаны экспериментальные зависимости  модуля коэффициента передачи современных МЦ для разных видов электродов (1, 2, 3) при длине электродов 1000мкм и напряжении смещения равном 1В.

На рис.6.16  показаны расчетные (6.24)   (а) и (6.24.2)    типичные  (б) зависимости модуля и аргумента  коэффициента передачи МЦ в режиме малого сигнала, рассчитанные автором соответственно по формулам (6.24.1)  и   (6.24.2) при   для различной длины электродов  мкм и различных параметров потерь СВЧ в материале .

                               а)                                                              б)

Рис.6.15. Зависимости модуля и аргумента  коэффициента передачи  СВЧ электродов МЦ в режиме малого сигнала (а) и (б), рассчитанные автором соответственно по формулам (6.24A)  и   (6.24Б) при   для различной длины электродов  мкм и потерь .       

 

 Из анализа зависимостей , представленных на рис.6.16, сделано заключение: повышение длины электродов приводит к режекторному виду модуля коэффициента передачи МЦ, а зависимости аргумента  коэффициента передачи  СВЧ электродов МЦ значительно зависят от   потерь .

Общий коэффициент передачи МЦ с учетом коэффициента передачи радиочастотных  электродов МЦ . Особенностью МЦ является зависимость его коэффициента передачи не только от  радиочастотных  электродов (их длины, конфигурации и т.п.), но и от коэффициента передачи оптической системы МЦ , определяемой  его дифференциальной структурой. На    рис.6.16A представлены расчетные зависимости модуля и аргумента  от значения разности фаз в каналах ОК2 и ОК1 ( -оптическая частота лазера)  коэффициента передачи модулятора Маха—Цендера МЦ  (а)  для разных значений коэффициента возбуждения  =А=a при =В=1- А. Эти зависимости рассчитаны по формулам (6.18)  -(6.20).      Из анализа зависимостей , показанных на    рис.6.16A(а), сделан вывод , что модуль и аргумент  сильно зависят от коэффициента возбуждения  . Общий коэффициент передачи МЦ с учетов  радиочастотных  электродов и дифференциальной структуры МЦ  определяется с точностью до постоянного коэффициента при малосигнальной модуляции как    .                                                                                     

Общий коэффициент передачи ВОЛЗ, определяемый, как отношение амплитуд первой гармоники на выходе и на входе ВОЛЗ при мало сигнальной модуляции, определяется, как

                                                     

 

где - постоянная составляющая мощности лазера, -  крутизна ФД, - сопротивление нагрузки ФД, -коэффициент преобразования напряжения в задержку света в оптическом канале МЦ, или , -коэффициент передачи оптического волокна ОВ с учетов элементов согласования.

Сделанный анализ МЦ в ОАГ и полученные формулы   позволяют перейти к определению амплитуды и радиочастоты в стационарном режиме генерации.

Укороченные уравнения  ОАГ с МЦ. С учетом сделанных обозначений ,пользуясь методикой глав2  и  5 и опуская преобразования ,считая все цепи, кроме  фильтра Ф , входящими в электронную часть ОАГ считаем широкополосными, и ОВ коротким ,получены укороченные дифференциальные уравнения ОАГ с МЦ для медленно меняющихся амплитуды  и фазы колебаний первой гармоники (на  выходе ОАГ с МЦ) имеют вид:

 

            (6.24.3),                       

 

где - управляющее сопротивление ОАГ, - средняя крутизна НУ, - постоянная времени фильтра Ф, -резонансная частота фильтра Ф.

Для нелинейной характеристики АЭ  и средней крутизны этой характеристики АЭ НУ  решение ДУ. Тогда из (6.24.3)  получим выражение для амплитуды U колебаний  ОАГ с МЦ:   

 

 

Из уравнений (6.24.3) для режима стационарной генерации получены уравнения баланса амплитуд и фаз в виде:

 

 

 

где -оптическая частота лазера, управляющее сопротивление ОАГ, -постоянная времени, определяемая электродами МЦ, - групповая задержка света в ОВ, , - групповые задержки света в оптических каналах ОК1 и ОК2 интерферометра МЦ соответственно.

Из уравнений (6.24.3) для режима стационарной генерации получено уравнение для радиочастоты генерации ОАГ в виде

 

        (6.24.4)

Из уравнений (6.24.4) вытекает одна из важных особенностей ОАГ – зависимость радиочастоты от оптической частоты генерации лазера , так как в правой части второго уравнения (6.49) находится множитель (мнимая часть коэффициента передачи цепи «ВОС-НУ»), который зависит от оптической частоты. Эта зависимость обусловлена влиянием оптической частоты на набег оптической фазы в плечах интерферометра модулятора МЦ. Из уравнения(6.24 E), считая ,что коэффициенты передачи оптических каналов  =А=a и =В=1- А примерно равны 0,5, то есть коэффициент , получим формулу, учитывая(6.21),   для отклонений радиочастоты генерации ОАГ от своего среднего значения при отклонении оптической частоты лазера в виде

 

                                     (6.24.5)

.

Из (6.24.5) вытекает одна из важная  особенность ОАГ, что  зависимость отклонений радиочастоты от отклонений оптической частоты генерации лазера , тем меньше , чем меньше разница задержек в ОК1 и ОК2 , чем меньше отношение отклонений оптической частоты от средней частоты , чем меньше разница коэффициентов передачи оптических каналов  =А=a и =В=1- А, то есть , , чем больше постоянная времени Ф и больше время задержки в ОВ . В этой формуле содержится некоторое противоречие. Оно заключено в следующем:  поскольку оптические излучения, прошедшие по ОК1 и ОК2, складываются после прохождения ОВ на площадке ФД, нельзя считать в силу неоднородности  поперечной структуры ОВ , что средние групповые  задержки оптических излучений и одинаковые с очень большой точностью, хотя и очень близки к друг к другу . Принимая этот аргумент без доказательств, формула  для отклонений радиочастоты генерации ОАГ от своего среднего значения  при отклонении оптической частоты лазера  запишется в виде

 

                          (6.24.6)

Из  (6.24.6)   следует,  что увеличивая общую задержку в ОВ, растет общая разница времен запаздывания по разным значениям параметра (в частном случае - радиуса)  R   , увеличение которой приводит к увеличению отклонений радиочастоты генерации ОАГ от своего среднего значения. Рекомендацией при разработке ОАГ , следующей из (6.24.6), что необходимо делать ОК1 и ОК2 как можно одинаковые, выбирать ОВ с максимально однородной и идеальной структурой в поперечном. Если такое невозможно, то эффективнее отказаться от ОВ и ограничится задержкой только в МЦ.

В качестве иллюстрации на  рис.6.17 (а)   представлены  рассчитанные совместные частотные зависимости модулей коэффициента передачи модулятора Маха-Цендера МЦ и радиочастотного фильтра  Ф ,  и их произведения ,а на рис.6.17 (б)представлен графический способ  нахождения частоты генерации  ОАГ МЦ с помощью решения уравнений баланса амплитуд и фаз для ОАГ с МЦ.

Рис.6.16. Расчетные зависимости коэффициента передачи ВОЛЗ с модулятором Маха—Цендера МЦ модуля и аргумента  от значения разности фаз в каналах ОК2 и ОК1 ( -оптическая частота лазера).

        

     

                               а)                                            б)

Рис.6.17. Расчетные совместные частотные зависимости коэффициента передачи модулятора Маха-Цендера МЦ и радиочастотного фильтра Ф ,  и их произведения   (а),  графический способ  нахождения частоты генерации  ОАГ МЦ с помощью решения уравнений баланса амплитуд и фаз для ОАГ с МЦ (б).