Диссертация на звание доктора технических наук. 

 

2. 2.7 . Полуклассические уравнения колебаний поля в резонаторе лазера КЛД и уравнения для оптоэлектронного генератора  ОАГ

Для доказательства утверждения, сделанного в начале главы 2 , что упрощенная математическая модель  ОАГ описывается системой из двух уравнений (2.1) и (2.2),  рассмотрим схему ОАГ с прямой модуляцией лазера КЛД , представленную на рис.2.9. Анализ этой схемы произведем , используя для описания лазера КЛД полуклассическую теорию (упоминание в главе 1), то есть представление о распространяющихся внутри оптического  резонатора колебаний с помощью уравнений Максвелла, а описание свойств активного элемента лазера КЛД -  с помощью матрицы плотности или поляризации среды. На рис.2.10. представлена схема  замещения ОАГ  с прямой модуляцией тока накачки лазера. В этой схеме показано, что ток накачки, имеющий постоянную и переменную составляющие воздействует на активную среду КЛД ( в схеме активная среда КЛД  представлена в виде блока оптический усилитель с коэффициентом передачи K_OY ). Пусть ключ  K1, показанный   в схеме рис.2.10, разомкнут.  Рассмотрим отдельно работу лазера КЛД. Выведем ДУ для напряженности E(t) лазера КЛД.

                           

Рис.2.9.  Структурная схема ОАГ с прямой модуляцией лазерного диода .                                                                     

Рис.2.10. Схема  замещения ОАГ  с прямой модуляцией тока накачки лазера .

  Рассмотрим одночастотный режим генерации лазера КЛД. При этом рассмотрим режим  бегущей волны в резонаторе (анализ режима стоячей волны в резонаторе КЛД  с плоскими зеркалами  аналогичен).  В полупроводниковых КЛД геометрическая длина резонатора намного больше длины волны генерируемого оптического излучения, частота генерации близка к собственной частоте оптического резонатора. Используя полуклассическое представление, из уравнений Максвелла для «двухуровневой схемы »  многими авторами [163,164,170] получена система из трех  уравнений для  напряженности электромагнитного поля ( ЭМП),  для поляризация активного материала лазера КЛД  и  разницы  населенностей между возбужденным и невозбужденным уровнями. В этих предположениях исходная система уравнений для одночастотного режима генерации лазера и однородного заполнения пространства   имеет вид

 

                     ,                                   (2.3.1)

                        ,                                     (2.3.2)

                         ,                                                   (2.3.3)

где  - напряженность ЭМП,   -добротность оптического резонатора ,   -собственная оптическая частота резонатора,  -диэлектрическая постоянная ,  -поляризация активного материала ,   - разница населенностей между возбужденным и невозбужденным уровнями, - разница населенностей между возбужденным и невозбужденным уровнями , создаваемая накачкой,   -постоянная времени поляризации,  -время жизни возбужденных частиц на верхнем энергетическом  уровне ,  -постоянная времени оптического резонатора ,накачка ,  - дипольный момент,  -постоянная Планка,  - собственная частота оптического резонатора  КЛД лазера на  конкретной n-ой продольной моде,  -оптическая частота перехода. Эти уравнения могут быть далее дополнены источниками шума, учитывающими шум спонтанного излучения КЛД  и  шум носителей активной среды . Точное аналитическое  решение данной системы затруднительно.

Сделаем преобразование Лапласа и , где - частота генерации лазера КЛД. Перейдем в операторный вид, введем постоянные коэффициенты    и  тогда получим из  (2.3.1) -(2.3.3) следующую систему уравнений

,     (2.3.4)

,     (2.3.5)

,     (2.3.6)

 

Подставляя (2.3.5) в (2.3.4) получаем систему из двух уравнений для лазера КЛД

 

,     (2.3.7)

,     (2.3.8)

 

Для упрощения записи введем обозначения в (2.3.7) в (2.3.8) , получаем систему из двух уравнений.

 

,                                                           (2.3.9)

,                           (2.3.10)

 

 Эти ДУ  дают возможность получить базовое уравнение лазера КЛД для двухуровневой схемы. Подставляя (2.3.10) в (2.3.9) получаем базовое уравнение для лазера КЛД в операторном виде

 

,  (2.3.11)

 

ДУ (2.3.11) является базовым для лазера КЛД и может быть упрощено. Рассмотрим случай, справедливый для полупроводникового лазера КЛД, когда ширина спектра возбуждаемых в резонаторе колебаний много меньше контура усиления активной среды  КЛД,  или при выполнении условия    постоянная времени оптического фильтра   много меньше постоянной времени контура усиления  .  Тогда ДУ (2.3.11), учитывая сделанное обратное преобразование Лапласа, запаздывание  в резонаторе КЛД. Далее, введем  источник шума   спонтанного излучения, ДУ (2.3.11) записывается в виде ДУ (2.1.1), указанного для лазера КЛД в начале главы 2,

 

          (2.3.12),

 

Здесь в (2.3.12)  сделаны следующие замены из (2.3.11) в правой части ,

 

,

 

, где -напряженность ЭМП накачки по физическому смыслу аналогичная параметру накачки  , пропорциональным разности населенности на верхнем уровне,  - коэффициент усиления оптического усилителя КЛД или активной среды,  - сложная нелинейная зависимость, связывающая  энергетические параметры колебаний  накачку , , и время жизни носителей  на верхнем уровне    лазера КЛД . Как будет показано далее  сложная нелинейная зависимость , которая в лазере КЛД определяется мультипликативной нелинейностью с инерционностью (членом   ), может быть при малом сигнале аппроксимирована мягкой нелинейности кубического вида .

Строгое решение и анализ ДУ

,                                                           (2.3.9.1)

,                           (2.3.10.1)

Подставим(2.3.10) в  (2.3.10) получим

,             (2.3.9.2)                                      

Далее в  правой части знаменателя в (2.3.9.2 ) 1) при можно принять

,    

Учитывая,  сделав

1)и фаз

Амплитуд

и приняв условие

фаз

 аналитическое  решение системы уравнений сложно. В окрестности 

• Частота генерации
• а , где  ,  

 2)квадрат амплитуды генерации лазера

ии или  

Условия выполнения генерации. Учитывая, что 

, при ,при генерации нет, а  генерация возможна  или

а  г а  г а  г или  и и

условия пороговой генерации  лазера (которое совпадает с [Лебедев ,стр.72]):

Выражение для напряженности внутри резонатора лазера с учетом спонтанного излучения лазера получим из(2.3.4)и (2.3.12):

            (2.3.12),

Лазера пренебрежении влиянием АМ шумов на ФШ для лазера с учетом ланжевеновского источника случайной силы , учитывающее действие  спонтанного излучения лазера

          (2.3.12),

, где ,

,где -среднее число шумовых фотонов согласно законам термодинамики , где  -объем резонатора, -постоянная Больцмана, -температура в кельвинах, -электрическая постоянная, при много меньше  добротность   , (при много больше  добротность   )

          (2.3.12),

Ширина линии лазерной генерации

С учетом , что полная энергия, запасенная в резонаторе лазера   выражение для ширины линии лазерной генерации приобретает вид

Упрощение базового ДУ (2.3.11). Примем во внимание, что при выполнении условия    много меньше постоянной времени контура усиления лазера      в (2.3.11) в правой части произведем замену   и получаем следующее уравнение

 

,  (2.3.13)

 

Рассмотрим режим  малого сигнала и, учитывая медленность изменения амплитуд , тогда правомочна следующая замена 

 

   (2.3.14)

 

Подставляя (2.3.14) в (2.3.11), и принимая во внимание, что операторный коэффициент   получаем уравнение,

 

,  (2.3.15)

                   а)                                              б)

Рис. 2.11.  Схема  замещения ОАГ  с прямой модуляцией тока накачки лазера  на базе полуклассических уравнений лазера:  построенные а) по выражению (2.3.11)  и б) по выражению (2.3.15).

 

Сделав алгебраические преобразования в (2.3.15),  приходим к виду

 

,  (2.3.16)

 

Уравнения (2.3.16) представляет собой уравнение осциллятора. Оно (2.3.16)  в левой части содержит  инерциальные операторы для разности населенности , для поляризации  и для оптического резонатора лазера КЛД ,  а  в правой части ДУ (2.3.16) представлена вынуждающая сила с нелинейным членом  типа , где коэффициенты и   .

После алгебраических преобразований  (2.3.16) получаем

 

,  (2.3.17)  

 

ДУ (2.3.17) показывает, что колебания становятся возможными  при росте накачки  при компенсации потерь в резонаторе лазера КЛД. Общий операторный коэффициент усиления K_л(p)  лазера  КЛД на плоскости комплексной переменной  p имеет три пары комплексно-сопряженных полюсов (рис.2.14). Из теории колебаний известно, что цепь устойчива, если ее полюса лежат в левой плоскости. Следовательно, при возникновении незатухающих  колебаний в лазере КЛД хотя бы два полюса коэффициента усиление КЛД должны находиться в правой полуплоскости. 

                     а)                                                      б)

Рис.2.12. Диаграмма полюсов общего операторного коэффициента усиления  для лазера  КЛД при добротности линии усиления  («по поляризации» и «населенности»)    10⁴, добротности оптического  резонатора  10² : а) в состоянии теплового равновесия или при постоянной составляющей тока накачки  J   равной нулю  (при разности населенностей  -10¹⁸ см^-3), б) при инверсии населенности при постоянной составляющей тока накачки  J   больше нуля   (при разности населенностей  10⁸ см^-3).

 

На рис. 2.12 приведена диаграмма полюсов общего операторного коэффициента усиления  для лазера  КЛД для разных значениях постоянной составляющей накачки лазера(или разных значениях разности населенности). 

В оптическом диапазоне добротность линии усиления КЛД составляет 2*10⁴ (добротность линии усиления КЛД Q₁= , где  частота фотон-электронного резонанса, - частота генерации КЛД, =10⁹…10¹⁰ Гц, где  постоянная составляющая  тока накачки пороговый ток накачки )  добротность оптического резонатора КЛД составляет 2*10² (при учете ,что резонатор образован «сколами» полупроводникового кристалла длиной 100мкм, оптическая частота генерации КЛД составляет 2*10¹⁴ Гц , постоянная времени оптического резонатора КЛД  равна  =10^-12 с). На рис. 2.12 и 2.14 видно, что при таких соотношениях добротностей  частота генерации КЛД определяется резонансной частотой резонатора, но конкретное значение частоты  определяется из решения уравнения для баланса фаз КЛД для ФЧХ оптического резонатора и коэффициента усиления КЛД. При этом постоянная времени и крутизна ФЧХ коэффициента усиления КЛД определяется временем жизни на рабочем уровне  и уровнем накачки  .   

 

 

                      

Рис. 2.13.  Диаграмма   определения оптической частоты генерации лазера  КЛД и радиочастоты генерации  ОАГ для схемы ОАГ  с прямой модуляцией тока накачки лазера КЛД.

 

Анализ ДУ лазера КЛД (2.3.16). Находим из ДУ (2.3.16)  управляющий коэффициент передачи лазера КЛД в режиме малого сигнала запишем в виде

 

,  (2.3.18)

Сделаем обратное преобразование Лапласа выражения (2.3.18), введем в выражении (2.3.18) частоту «фотон-электронного резонанса» , которая 

 

 

                    а)                                             б)

Рис. 2.14.  Нелинейная зависимость напряженности поля (амплитуды первой гармоники ) и  средней крутизны лазера КЛД для разных значений постоянной составляющей накачки КЛД (а),  нелинейная зависимость переменной составляющей тока накачки (амплитуды первой гармоники ) КЛД  в ОАГ и её средней крутизны(б)  для схемы ОАГ с прямой модуляцией тока накачки лазера.

  пропорциональна накачке  и учтем, что коэффициенты    ,  , ,      .

Тогда выражение (2.3.18), введя  , представим в виде 

,  (2.3.19)

и запишем выражение для декремента затухания .

                                          (2.3.20)

Выражения (2.3.18) ,(2.3.20) отражают особенности управляющего коэффициента передачи лазера КЛД для двухуровневой модели.  Коэффициент передачи прямо пропорционален дипольному моменту  ,  резонансная частота , зависящая от накачки определяет фактически максимальное значение модуля коэффициента передачи и оно зависит от времени жизни носителей на рабочем уровне . Декремент затухания определяется общими потерями в резонаторе , в активной среде и временем жизни носителей. На рис. 2.13. представлена   диаграмма   определения оптической частоты генерации лазера  КЛД и радиочастоты генерации  ОАГ для схемы ОАГ  с прямой модуляцией тока накачки лазера КЛД, которая построена на основе предыдущего анализа.

2. 2.8. Выводы к главе 2.

В результате теоретического исследования оптоэлектронного автогенератора ОАГ и  анализа  базовых схем оптоэлектронного автогенератора ОАГ с прямой модуляцией и внешней модуляцией оптического излучения лазера с одиночным оптическим волокном ОВ и двумя ОВ разной длины  сделаны следующие выводы.

1. Для математического описания исследуемых в работе  схем ОАГ с прямой и внешней модуляцией используем два взаимосвязанных дифференциальных уравнения с флуктуациями для напряженности электромагнитного поля лазера КЛД и для тока накачки ( в случае схемы с прямой модуляцией КЛД) и для напряжения, поступающего на электроды модулятора Маха-Цендера (для схемы с внешней модуляцией). Первое уравнение описывает формирование оптических колебаний в лазере КЛД, второе уравнение описывает формирование радиочастотных колебаний в ОАГ. «Ланжевеновские» шумовая составляющая напряженности поля  в лазере КЛД описывает влияние фазового шума спонтанного излучения лазера на формирование колебаний КЛД.

2. Для исследования динамических характеристик ОАГ и зависимостей частоты и амплитуды генерации ОАГ от времени выведены для ОАГ с ВОЛЗ на базе двух оптических волокон разной длины дифференциальные уравнения с запаздыванием (ДУЗ ). Показано, ДУ ОАГ для ВОЛЗ с двумя оптическими волокнами  одиночного оптического волокна.  Выведенные уравнения ДУЗ ОАГ  являются универсальными. Эти уравнения позволяют рассчитывать частоту генерации  не только в  ОАГ с дифференциальными и составными  ВОС ,  но и  в ОАГ с одиночным ОВС , возбуждаемых  КЛД с двумя (или несколькими) продольными модами , то есть  в оптическое излучение которого входит две оптические частоты ν_л1 и ν_л2  .  В этом случае коэффициенты возбуждения А и В в ДУЗ определяют относительные величины оптической мощности , распространяющиеся излучениями на  частотах   ν_л1 и ν_л2 , для которых задержка в ОВС разная.Полученные численные результаты решения ДУЗ ОАГ ( на базе созданной в программы) в переходном режиме  позволили  определить ,что время установления автоколебаний составляет  от 4 до 10 раз больше средней  задержки сигнала в ВОС  и зависит от коэффициентов возбуждения  А и В.
3. Выявлены возможности управления радиочастотой автоколебаний ОАГ посредством изменения параметров лазера, а также управление частотой и фазой оптических колебаний лазера посредством изменения параметров радиочастотного генератора (например, вариациями собственной частоты РЧ фильтра).

4. Получены уравнения баланса фаз и амплитуд  ОАГ с дифференциальной составной  ВОС  с учетом управляющих токов и оптической частоты.  На основе этих уравнения   получены  выражения для частоты и амплитуды генерации ОАГ в стационарном режиме и  основные зависимости частоты и амплитуды при различных изменениях параметров.   Показано, что в схеме ОАГ с составной дифференциальной  ВОС (двумя или несколькими ВС разной длины)  возможно производить управление  частотой генерации ОАГ с помощью изменений постоянного тока КЛД , а также производить новые виды управления частотой генерации ОАГ в его оптической части .

5. В результате исследования и анализа системы трех ДУ полуклассической теории лазера для напряженности ЭМП, поляризации и населенности для лазера КЛД получена система из двух уравнений, которые для режима малого сигнала сводятся к  одному символическому ДУ. Последующий анализ,  сделанный на основе метода баланса фаз и амплитуд  для лазера КЛД, показал преимущества предложенного подхода при математическом моделировании к описанию лазера КЛД, как сложной автоколебательной системы.

 

"Оптоэлектронный генератор с накачкой квантоворазмерным лазером"

Борцов Александр Анатольевич, Борцов А.А., Александр Анатольевич Борцов

А.А.Борцов "Оптоэлектронный генератор с накачкой квантоворазмерным лазером"

 Диссертация на звание доктора технических наук.